“Berikan saya tempat untuk berdiri dan saya akan mengangkat bumi”
(“Give me a place to stand on and I will move the earth”)
Archimedes
Apabila Matematikawan dan fisikawan ikut perang
Riwayat
Archimedes adalah seorang arsitokrat. Archimedes adalah anak astronom Pheidias yang lahir di Syracuse, koloni Yunani yang sekarang dikenal dengan nama Sisilia. Dia mempunyai hubungan keluarga dengan tiran (raja) Hieron II yang berkuasa di Syracuse pada jaman itu. Archimedes berteman dengan Gelon, anak Hieron II, dimana keduanya adalah matematikawan andalan raja. Membicarakan Archimedes tidaklah lengkap tanpa kisah insiden penemuannya saat dia mandi. Saat itu dia menemukan bahwa hilangnya berat tubuh sama dengan berat air yang dipindahkan. Dia meloncat dari tempat mandi dan berlari terlanjang di jalanan Syracuse sambil berteriak “Eureka, eureka!” (saya sudah menemukan, saya sudah menemukan). Saat itulah Archimedes menemukan hukum pertama hidrostatik. Kisah di atas diawali oleh tukang emas yang tidak jujur dengan mencampurkan perak ke dalam mahkota pesanan Hieron. Hieron curiga dan menyuruh Archimedes untuk memecahkan problem tersebut atau melakukan pengujian tanpa merusak mahkota. Rupanya saat mandi tersebut, Archimedes memikirkan problem tersebut. Tentang nasib tukang emas itu sendiri tidak ada yang mengetahuinya.
Masa sekolah
Saat muda usia dia menuntut ilmu di Alexandria, Mesir. Pada saat itu dia menjalin persahabatan dengan dua orang “istimewa.” Teman pertama, Conon adalah matematikawan berbakat yang sangat dihormati Archimedes baik secara pribadi maupun intelektual. Teman kedua, Eratosthenes *), juga seorang matematikawan sekaligus astronom, meski mempunyai “kelainan” yaitu: suka bersolek. Dengan kedua teman ini, teristimewa Conon, Archimedes dapat berbagi pemikiran dan berdiskusi. Akhirnya, Conon meninggal dan surat menyurat antar keduanya digantikan oleh Dositheus, murid Conon.
Tahun 1906, J.L. Heiberg, membuat penemuan dramatis di Konstantinopel yaitu: “surat” Archimedes kepada Erastosthenes: Theorema mekanikal, suatu metode. Dalam suratnya ini, Archimedes mengukur berat, dalam imajinasi, guna menghitung luas atau mengetahui volume (isi) sesuatu yang tidak diketahui lewat sesuatu yang diketahui, dia merintis ilmu pengetahuan berdasar penggalian fakta; fakta ini digunakan sebagai pembanding untuk kemudian dibuktikan secara matematis.
Ada versi lain yang menyebut bahwa Archimedes diperkirakan berguru pada murid Euclid. Archimedes dapat disebut sebagai matematikawan sekaligus fisikawan pertama, dimana selain menemukan “mesin perang”, alat-alat mekanis serta pompa air untuk mengangkat air sungai Nil guna mengairi (irigasi) tanah-tanah di seluruh negeri.
Sifat eksentrik Archimedes
Dalam hal eksentrik Archimedes sering dibandingkan dengan Weierstrass (1815 – 1897). Menurut penuturan saudarinya, Weierstrass – pada waktu sekolah, tidak pernah diberi kepercayaan untuk memegang pinsil. Apabila memegang pinsil, maka dia akan menggambari apapun yang dianggapnya masih kosong. Dari wallpaper sampai balik kerah baju. Sebaliknya, Archimedes - belum mengenal kertas, selalu menggambar di pasir atau tanah yang lembek sebagai ganti fungsi “papan tulis.” Dia akan menggambar sesuka hatinya. Apabila duduk di dekat perapian, dia akan mengambil arang atau sisa pembakaran dan digunakan untuk menggambar. Setelah mandi, biasanya dia akan melumuri seluruh tubuhnya dengan minyak zaitun, yang lazim dipakai pada jaman itu, daripada mengenakan pakaian, dia akan menggambar diagram-diagram dengan menggunakan jari kuku dengan “papan tulis” adalah seluruh tubuhnya yang berminyak. Ada sifat yang lazim diidap oleh para matematikawan seperti: lupa makan. Sifat lupa makan Archimedes, saat menekuni problem matematika, ternyata diwariskannya kepada [Isaac] Newton dan [William Rowan] Hamilton.
Archimedes terlibat perang
Saat ini Romawi adalah kerajaan dengan banyak pejabatnya korup. Di Mediteranian, sekarang Tunisia, dan kota Carthage, muncul dan menjadi penguasa dengan koloni meliputi wilayah sepanjang pantai Afrika sampai Spanyol. Romawi merasa iri hati dan menyerbu. Dua kali serangan yang disebut dengan perang Punic, mampu menaklukkan Carthage. Tetapi tidak lama kemudian, Carthage mampu bangkit kembali, sehingga memaksa Romawi kembali melancarkan serangan, perang Punic ketiga. Kali ini, tentara Romawi tidak memberi ampun lagi. Begitu dapat menaklukkan, mereka menghancurkan kota dan membunuhi para penghuninya (146 SM).
Di atas adalah latar belakang terjadinya perang Punic. Selama perang Punic ini, Romawi mengirim pasukan di bawah komando Claudius Marcellus pada tahun 214 SM untuk menyerang Syracuse. Alasan utamanya adalah karena raja Syracuse menjalin hubungan dengan Carthage; alasan lain, tentara Romawi selalu dapat menaklukkan wilayah kecil dengan mudah. Tetapi saat ini mereka ketemu batunya.
Tentara Romawi menyerbu Syracuse dari segala penjuru, daratan dan lautan, terhadang oleh rekayasa sains; tidak canggih namun cerdik. Penduduk Syracuse sudah diajari bagaimana menggunakan tuas (lever) dan berbagai macam bentuk pelontar, dan mereka menerapkan kemampuan ini pada perang di darat maupun di laut. Tentara Romawi dipaksa mundur dan lari lintang-pukang di bawah hantaman “badai” batu dan panah yang dilontarkan oleh ketapel-ketapel buatan Archimedes. Belum lagi adanya serangan dari pelontar tali berisi peluru dan busur kecil (crossbow) yang menembakkan anak panah besi.
Serangan pasukan Romawi lewat laut, hasilnya tidak jauh berbeda, hampir semua armada kapal perang mereka hancur. Besi-besi besar dijatuhkan oleh pasukan Syracuse lewat derek (crane) yang dibangun, mampu menenggelamkan kapal-kapal Romawi. Derek lain digunakan mengangkat kapal-kapal Romawi dan pasukan-pasukan berebut menyelamatkan diri dengan terjun ke laut. Masih ditambah dengan cermin pembakar, maka lengkaplah “derita” kapal-kapal Romawi. Seorang tua menciptakan cermin heksagonal dan di sela-sela cermin berukuran proporsional tersebut dipasang empat cermin segi empat, digerakkan dengan besi yang dibentuk seperti engsel jaman modern, diarahkan ke matahari. Berkas sinar yang dipantulkan oleh cermin-cermin tersebut diarahkan ke kapal, menimbulkan api dan kapal terbakar. Pengoperasian cermin dilakukan dari ketinggian di tengah kota oleh seorang lelaki tua.
Siasat lain mulai dicari. Tentara Romawi mencoba membangun tembok di luar tembok kota, namun tidak pernah selesai dibangun. Muasalnya adalah derek dengan bandulan besi berputar mengelilingi kota Syracuse untuk menghancurkan tembok-tembok tersebut sekaligus menghalau pasukan Romawi yang akan maju.
Gagal dengan serangan frontal, Marcellus menggunakan cara lain. Saat penduduk Syracuse merayakan kemenangan, diselimuti oleh gelapnya malam, dikirimlah mata-mata (Buku legendaris “Seni Berperang” Sun Tzu – hidup 500 SM, tentang penggunaan mata-mata, bab 13, bab terakhir, barangkali mengilhami atau barangkali ide dari perang Troya dengan taktik kuda Troya) untuk menghancurkan “monster-monster” ciptaan Archimedes dan membuka pintu gerbang kota. Perang berlangsung selama 3 tahun, sebelum Romawi dapat mengalahkan si kecil cerdik, Syracuse.
Penemuan-penemuan Archimedes
Minat Archimedes adalah matematika murni: bilangan, geometri, menghitung luas bentuk-bentuk geometri. Archimedes dikenal karena kehebatannya mengaplikasikan matematika. Kehebatan inilah yang akan diuraikan di bawah ini.
Archimedes berjasa menemukan ulir Archimedes, alat untuk mengangkat air dengan jalan memutar gagang alat ini dengan tangan. Penggunaan awal alat ini adalah untuk membuang air yang masuk ke dalam perahu atau kapal. Tapi dalam perkembangannya digunakan untuk memompa air dari dataran yang lebih rendah ke tanah yang lebi tinggi. Alat ini sampai sekarang masih dipakai oleh para petani di seluruh dunia.
Penggunaan cermin pembakar, memberi indikasi bahwa beberapa bentuk geometri sudah diketahui Archimedes, teristimewa bentuk hiperbola. Bentuk lingkaran, elips dan hiperbola terbentuk hanya bagaimana cara kita mengiris suatu bidang. Parabola adalah bentuk istimewa: dapat “mengambil” sinar matahari, dari arah manapun, dan difokuskan pada suatu titik, dan konsentrasikan semua energi cahaya pada bidang sempit untuk dipancarkan kembali dalam berkas sinar yang sangat panas.
Archimedes sudah mencoba menghitung luas parabola, elips, hiperbola dan menentukan titik pusat gravitasi pada setengah lingkaran dan lingkaran. Tidak diketahui secara pasti berapa banyak karya-karya Achimedes yang hilang atau belum ditemukan satu yang terpenting, Metode (The Method, sebagian besar sudah ditemukan pada tahun 1906), tapi karya lain termasuk: On Spiral, On the Measuremant of the Circle, Quadrature of the Parabola, on Conoids & Spheroids, on the Sphere & Cylinder, Books of Lemmas dll. tidak sesuai dengan segala sesuatu yang dihasilkan Archimedes pada jaman Romawi.
Archimedes adalah orang pertama yang memberi metode menghitung besar ? (pi) dengan derajat akurasi yang tinggi. Menghitung besar ? dilakukan dengan cara membuat lingkaran diantara dua segi enam. Luas segi enam kecil < luas lingkaran < luas segi enam besar. Dengan memperbesar jumlah segi - Archimedes membuat 96 sisi, diperoleh besaran:
3 10/71 < Л < 3 1/7
(3,14084 < Л < 3,14285)
Dalam menghitung ?, jaman modern, para matematikawan mengikuti jejak Archimedes. Sebagai contoh, pada abad 17, Ludolph van Ceulen dari Jerman, menggunakan segi 262. Upaya gigih guna mencari besaran ? ini dilakukannya sampai dia meninggal. Jadi tidaklah mengherankan, apabila orang Jerman – untuk menghormati jasa, pada nisan dipahat “Angka Ludolphian” yang berarti ? di Jerman.
Penggunaan tuas dalam perang dengan menciptakan crane, menunjuk bahwa Archimedes sudah memahami prinsip tuas, yaitu: dua benda yang mencapai keseimbangan berat pada suatu jarak tertentu memiliki besar yang proporsional secara timbal-balik.
Archimedes meninggal
Apabila pada tahun-tahun sebelumnya, penemuan-penemuan Archimedes selalu membuat pasukan Romawi frustrasi. Mereka tidak dapat menaklukan Syracuse untuk dijadikan koloni. Alat-alat mekanik ciptaan Archimedes selalu dapat mementahkan dan menghancurkan semua serangan mereka. Salah satu kisah menarik adalah tentang Archimedes dalam perang ini adalah menciptakan “cermin-cermin pembakar” yang mampu membakar kapal-kapal Romawi dari kejauhan. Tahun 212 SM, Syracuse akhirnya jatuh ke tangan Romawi, setelah terjadi penyusupan di malam hari.
Singkat kata, Marcellus dengan didampingi para prajuritnya mendatangi pencipta alat yang membuat semua petaka bagi tentara Romawi. Saat itu Archimedes sedang menggambar diagram di pasir. Pikiran dan matanya hanya terpusat pada diagram-diagram yang digambarnya. Tidak memperdulikan sekelilingnya. Marcellus dan prajurit pengikutnya diam mengamati sampai akhirnya seorang prajurit kehilangan kesabaran. Seorang prajurit Marcellus datang menghampiri dan memerintahkan agar Archimedes segera menghadap komandan mereka, namun dia tidak menuruti perintah dan baru akan menghadap setelah menyelesaikan problem dan memberikan pembuktiannya.
Kesabaran prajurit itu habis dan maju untuk menangkap Archimedes. “Jangan sentuh lingkaran-lingkaran yang saya buat!” adalah teriakan terakhir Archimedes ketika prajurit itu menginjak gambar diagram di atas pasir. Prajurit yang tidak diketahui namanya itu marah, menghunus pedang dan membunuh Archimedes yang sudah berusia 75 tahun.
*) Eratoshenes (273 – 192 SM) melakukan penghitungan diameter bumi pada tahun 230 SM. Dia menengarai bahwa kota Syene di Mesir terletak di equator, dimana matahari bersinar vertikal tepat di atas sumur pada hari pertama musim panas. Eratoshenes mengamati fenomena ini tidak dari rumahnya, dia menyimpulkan bahwa matahari tidak akan pernah mencapai zenith di atas rumahnya di Alexandria yang berjarak 7° dari Syene.
Jarak Alexandria dan Syene adalah 7/360 atau 1/50 dari lingkaran bumi yang dianggap lingkaran penuh adalah 360°. Jarak antara Syene sampai Alexandria +/- 5000 stade. Dengan dasar itu dibut prakiraan bahwa diameter bumi berkisar:
50 x 5000 stade = 25.000 stade = 42.000 Km.
Pengukuran tentang diameter bumi diketahui adalah 40.000 km. Ternyata, astronomer jaman kuno juga tidak kalah cerdasnya, dengan deviasi kurang dari 5%.
Sumbangsih
Prinsip-prinsip fisika dan matematika diaplikasikan oleh Archimedes baik untuk tujuan “mulia” – pompa ulir, untuk mengangkat air dari tempat yang lebih rendah maupun untuk tujuan perang. Memang tidak dapat dihindari bahwa suatu penemuan biasanya akan dipicu oleh suatu kebutuhan mendesak. Cermin pembakar, derek (crane) untuk melontarkan panah dan batu atau menenggelamkan kapal adalah penguasaan fisika Archimedes yang dapat dikatakan luar biasa pada jamannya.
Kontribusi penghitungan Л (pi) dari Archimedes barangkali dapat disebut sebagai awal bagi para pengikut untuk meniru metode yang dipakai untuk menghitung luas lingkaran. Terus memperbanyak jumlah segi enam untuk menghitung besaran Л (pi) mengilhami para matematikawan berikutnya bahwa adanya suatu ketidakhinggaan - seperti paradoks Zeno, dimana hal ini mendorong penemuan kalkulus.
Read More..
Selasa, 21 Juni 2011
Euclid (325 – 265 SM)
“Tidak ada jalan mulus mempelajari geometri”
(“There is no royal road to geometry”)
Euclid
Pemberi dasar bahwa matematika adalah ilmu yang perlu pembuktian
Riwayat
Tidak lama Pythagoras meninggal, lahirlah Euclid. Pada era ini matematika lebih dikenal sebagai sains dan kurang mistik. Theorema-theorema baru ditambahkan: kurva-kurva, lingkaran-lingkaran dan bentuk-bentuk lain dipelajari sama halnya seperti garis lurus dan bidang–bidang datar. Tahun yang disebut di atas hanya prakiraan karena tidak adanya sumber yang layak dipercaya. Ada sumber yang menyebutkan Euclid hidup antara tahun 330 - 275 SM. Lembaga yang menaungi pembelajaran saat itu adalah akademi Plato. Masa keemasan Yunani dan kebebasan berekspresi membuat pemikir-pemikir baru bermunculan. Didirikan pada 380 SM, lolos dari invasi-invasi yang datang silih berganti, hidup dalam suksesi banyak tiran dan menjadi saksi keruntuhan dua kebudayaan besar – Yunani dan Romawi – sebelum akhirnya ditutup pada abad keenam oleh kaisar Justinian.
Euclid diperkirakan belajar pada akademi Plato ini sebelum diangkat menjadi pengajar matematika di tempat yang sama. Ada cerita Euclid masih mengajar di akademi ini ketika Alexander Agung menyatakan misinya untuk menaklukkan dunia. Yunani, bersama Mesir dan Mediterian dan negara-negara di kepulauan Yunani ditaklukkan oleh angkatan perang Macedonian. Pada tahun 332 SM, Alexander Agung menetapkan ibukota negara di Alexandria, Mesir dan sembilan tahun kemudian ia meninggal pada usia 33 tahun. Tahta diberikannya kepada jendral Ptolemy atau Claudius Ptolemaeus.
Universitas Ptolemy
Ptolemy - orang terpelajar *, membangun bukan saja suatu dinasti, mencakup salah satu keturunannya yang sangat terkenal, Kleopatra, tetapi juga mendirikan universitas yang lebih besar dari akademi Plato dan mengundang Euclid untuk mengajar di sana. Di tempat baru ini, Euclid merintis pengajaran matematika dan tinggal di sana sampai akhir hayatnya. Sebagai seorang guru, dia barangkali salah satu mentor Archimedes.
Ada legenda yang menceritakan bahwa anak Ptolemy bertanya kepada Euclid apabila ada cara mudah belajar geometri dengan mempelajari semua preposisi. “Tidak ada cara mulus mempelajari geometri,” adalah jawaban Euclid sambil menyuruh pangeran kembali membaca buku geometri. Jawaban ini menjadi kutipan (quotation) terkenal dari Euclid.
Euclid meninggal namun universitas Ptolemy di Alexandria terus berjalan. Salah satu murid terbesarnya – tanpa mengesampingkan teman sesama mahasiswa, adalah Archimedes. Orang Yunani dari Syracuse yang menimba ilmu di universitas, dimana salah satu pengajarnya adalah Euclid.
Pribadi Euclid
Euclid dapat disebut sebagai matematikawan utama. Dia dikenal karena peninggalannya berupa karya matematika yang dituang dalam buku The Elements sangatlah monumental. Buah pikir yang dituangkan ke dalam buku tersebut membuat Euclid dianggap sebagai guru matematika sepanjang masa dan matematikawaan terbesar Yunani.
Pribadi Euclid digambarkan sebagai orang yang baik hati, jujur, sabar dan selalu siap membantu dan bekerjasama dengan orang lain. Banyak theorema-theorema yang dijabarkannya merupakan hasil karya pemikir-pemikir sebelumnya termasuk Thales, Hippokrates dan Pythagoras.
Banyak informasi salah tentang Euclid. Ada yang menyebutkan bahwa dia adalah anak Naucrates yang lahir di Tyre. Informasi lain mengemukakan bahwa di lahir di Megara. Memang ada nama yang sama, Euclid dan lahir di Megara, tetapi hal itu terjadi 100 tahun sebelum kelahiran Euclid dan profesi Euclid dari Megara adalah filsuf. Euclid sendiri lahir di Alexandria. Kesalahan nama ini jamak terjadi karena pada masa itu banyak orang bernama Euclid.
Karya besar Euclid
The Element dapat dikatakan karya fenomenal pada jaman itu. Terdiri dari 13 buku yang tersusun berdasarkan tema dan topik. Setiap buku diawali dengan difinisi, postulat (hanya untuk buku I), preposisi, theorema sebelum ditutup dengan pembuktian dengan menggunakan difinisi dan postulat yang sudah disebutkan. Buku ini ke luar Yunani tahun 1482, diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dan Arab, serta menjadi buku teks geometri dan logika pada awal tahun 1700-an. Garis besar isi masing-masing buku.
Buku I : Dasar-dasar geometri: teori segitiga, sejajar dan luas
Buku II : Aljabar geometri
Buku III : Teori-teori tentang lingkaran
Buku IV : Cara membuat garis dan gambar melengkung
Buku V : Teori tentang proporsi-proporsi abstrak
Buku VI : Bentuk yang sama dan proporsi-proporsi dalam geometri
Buku VII : Dasar-dasar teori angka
Buku VIII : Proporsi-proporsi lanjutan dalam teori angka
Buku IX : Teori angka
Buku X : Klasifikasi
Buku XI : Geometri tiga dimensi
Buku XII : Mengukur bentuk-bentuk
Buku XIII : Bentuk-bentuk tri-matra (tiga dimensi)
Euclid mencetuskan 5 postulat yang kemudian menjadi pokok bahasan. Agar tidak terjadi salah interpretasi, maka postulat kelima juga disajikan dalam bahasa Inggris. Hal ini disengaja, karena munculnya geometri non-Euclidian, dirintis oleh Gauss, diawali dengan menganggap postulat kelima salah total..
1. Garis lurus dapat digambar dari (sembarang) titik sampai (sembarang) titik lainnya.
2. Ujung garis lurus dapat dilanjutkan terus sebagai garis lurus.
3. Lingkaran dapat digambar dari sembarang titik pusat dan dengan jari-jari berbeda.
4. Semua sudut-sudut di sisi kanan besarnya sama dengan sisi lainnya.
5. Apabila garis lurus terpotong menjadi dua garis lurus, menyudut di sisi dalam pada kedua garis pada sisi yang sama daripada dua sudut yang sejajar, jika diteruskan sampai ke (titik) tak terhingga, akan berpotongan pada sisi dimana sudutnya lebih kecil dibandingkan sudut yang terbentuk dari dua garis.
(If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side together less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which the angles are together less than two right lines)
Theorema-theorema pada Elements adalah kompilasi karya para matematikawan sebelumnya – Pythagoras, Eudoxus, Menaechunus, Hippocrates, menampilkan pembuktian-pembuktian kuno dengan mengganti dengan baru dan disederhanakan. Element menjadi – dan abadi – buku teks baku dalam geometri. Saat mesin cetak ditemukan, buku ini termasuk buku pertama yang dicetak.
Euclid mencoba memecahkan problem irrasional yang membuat Pythagoras putus-asa. Dengan menggunakan contoh segitiga siku-siku dengan panjang kedua sisinya 1, maka sisi panjang segitiga adalah x² = 2. Euclid membuat asumsi bahwa solusinya dapat ditemukan. Solusi versi Euclid hanya menyebutkan bahwa v2 adalah (bilangan) irrasional yang artinya bilangan tersebut tidak dapat dibuat nisbah (ratio), bukan karena bilangan tersebut “kurang waras.” Rasanya ketiga-belas buku dan “kandungan” lima postulat sulit dibantah. Ternyata ada ‘cacat’ pada postulat kelima.
Cacat pada postulat Euclid
Semua postulat membawa apa yang disebut dengan pembuktian diri (self-evidence). Postulat kelima dibuktikan oleh Euclid tanpa memberikan cara pembuktian. Upaya pertama untuk membuktikan postulat kesejajaran ini dilakukan oleh Girolamo Saccheri, pendeta Jesuit berkebangsaan Italia, yang mendukung Euclid dengan menerbitkan buku berjudul Euclides ab omni naevo vindicatus (“Euclid bebas dari semua kesalahan”) pada tahun 1733. Buku tersebut tidak dapat menuntaskan kesalahan Euclid. Matematikawan terkemuka Jerman, Gauss, pertama kali menemukan kesalahan postulat kelima tapi malu untuk mempublikasikannya sehingga kehormatan diberikan kepada dua matematikawan lain yang mengungkapkannya dengan cara penemuan Gauss. Janos Bolyai dari Hongaria dan Nicolai Lobachevsky secara terpisah mampu membuktikan cacat postulat kelima Euclid dengan cara berbeda pula.
Penemuan kesalahan ini membuat berkembangnya geometri model baru. Dirintis oleh Beltrami dari Italia, disusul Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis dan Felix Klein dari Jerman. Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuai kecil terhadap postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jerman sehingga muncul bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, ellips yang merupakan jawaban bahwa alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid (non-Euclidian).
Tiga problem matematika klasik
Para matematikawan sejak dahulu berkutat dengan tiga problem yang tidak dapat dipecahkan pada saat itu. Memang ketiga problem itu menjadi mudah setelah ada “campur-tangan” pada matematikawan modern yang terus menyempurnakan alat-alat matematika. Adapun ketiga problem ini adalah:
1. Persamaan pangkat 3
4x³ - 3x - a = 0
a adalah angka tertentu. Saat itu Yunani tidak mengenal pangkat tiga (kubik). Dengan penggaris dan kompas mereka hanya mampu menyelesaikan persamaan linier (pangkat 1) dan persamaan kuadrat (pangkat 2).
2. Menggandakan kuadrat
2x³ = y³ atau x³ = 2.
Problem yang tidak dapat dipecahkan terjadi karena sebuah legenda. Bangsa Athena, menurut cerita, konsultasi dengan Orakel (tempat dibangun kuil dan dewa bersabda) sebelum melakukan kampanye perang dan dijawab bahwa untuk mempertahankan kejayaan mereka harus menggandakan lebar altar pemujaan terhadap Apolo (Anak Zeus yang dipercayai oleh ayahnya untuk menyingkapkan keputusan-keputusan ayahhandanya untuk umat manusia), yang berbentuk kubus. Mereka segera membuat altar dengan dua kali panjang, dua kali lebar dan dua kali tinggi dibanding altar aslinya.
Percaya bahwa mereka sudah memenuhi keinginan Oracle, mereka dengan penuh percaya diri menuju perang – dan kalah. Ternyata, mereka membuat altar delapan kali besarnya, bukan 2 kali.
3. Menggambar lingkaran.
Karena tidak ada alat yang tersedia, pada saat itu, tidaklah dimungkinkan menggambar lingkaran bahkan dinyatakan dalam bentuk persamaan aljabar. Problem menyangkut menentukan besaran p (pi), nisbah antara lingkaran dan diameter. Kendala datang dari p yang merupakan bilangan irrasional sekaligus transendental (= bukan bilangan yang dapat diekspresikan dalam aljabar. Sulit ‘memahami alam tanpa kehadiran bilangan ini. Ada 2 bilangan transendental yang terkenal: p dan e).
Ketiga problem klasik ini akan selalu membayangi kiprah para matematikawan. Tidak terkecuali Euclid, tanpa pernah dapat menyelesaikan. Matematikawan berikutnya akan selalu menghadapi dan berupaya memecahkan problem tersebut. Penyelesaian suatu problem berarti nama baik sekaligus prestasi. Tidak jarang terjadi kecurangan, saling “curi” ide, penghianatan. Dan hal ini selalu terjadi di jaman dulu sampai jaman sekarang. Banyak contoh dapat dibaca pada riwayat-riwayat para matematikawan selanjutnya.
Euclid dan bilangan prima
Euclid, seperti matematikawan jaman sekarang, mempelajari bilangan prima, mencari untuk menentukan bilangan mana yang masuk kategori prima atau bukan. Euclid tidak pernah dapat menentukan bilangan prima, tetapi dia mampu memberikan jawaban tentang bilangan prima: bilangan prima itu tidak terhingga.
Anak SD sekarang sudah terbiasa dengan bilangan prima. Dari angka 2 sampai dengan 50 terdapat 15 bilangan prima (2, 3, 5, 7, 11, 13, `7, `9, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) ; dari 50 sampai dengan 100 hanya 10 bilangan prima.
Euclid membuat pernyataan: jika bilangan prima terbesar adalah n, maka pasti ada bilangan > n, di mana dapat dicari dengan menggunakan 1 x 2 x 3 dan seterusnya sampai n, kemudian ditambah 1 untuk mendapatkan hasilnya. Simbol matematika untuk mengekspresikan adalah n! + 1 (n faktorial ditambah 1).
Kondisi sekarang
Apabila dahulu Euclid dipuja, sekarang keadaan berbalik. Banyak pengikutnya mulai “menyerang” Euclid dengan menyebut dia terlalu arogan dan memaksakan suatu pembuktian yang dibuatnya selalu benar, misalnya: salah satu sisi segitiga tidak akan lebih panjang daripada jumlah kedua sisi lainnya. Matematikawan modern mengkritik Euclid dari sudut pandang lain, yaitu: Euclid tidak cermat dalam melakukan pembuktian. Terdapat beberapa kesalahan dan ide-ide yang tidak dapat dipertanggungjawabkan. Yang paling mencolok adalah postulat kelima yang juga lazim disebut dengan postulat kesejajaran.
Para matematikawan berikutnya tidak dapat menerima pernyataan-pernyataan (postulat) yang tidak dapat dibuktikan itu. Kemudian, muncul geometri non-Euclidian yang menggantikan postulat-postulat itu dengan pernyataan yang dapat diterima umum.
Masa tua Euclid
Pindah untuk mengajar di Alexandria yang lebih kosmopolitas, modern tidak membuat Euclid gembira dibandingkan tinggal di kota-kota di Yunani yang makin lama makin sepi. Di sini dia melihat aplikasi matematika. Pompa air, air terjun buatan bahkan motor yang digerakkan tenaga uap tidak memberi makna kehidupan bagi Euclid. Ia lebih suka matematika untuk dipelajari bukan untuk aplikasi. Euclid meninggal di Alexandria.
* Seorang astronomer yang menghitung gerakan bumi, bulan dan matahari. Perhitungan ini kelak akan disempurnakan oleh Newton.
Sumbangsih
Format yang dibuat Euclid membantu terjadi standarisasi matematika Yunani. Subyek-subyek yang dibahas oleh Euclid mencakup bentuk-bentuk, theorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen, geometri ruang, teori proporsi, bilangan prima, bilangan sempurna, integer positif, bilangan irrasional, gambar tri-matra (tiga dimensi). Euclid meninggalkan warisan yang berguna bagi pengembangan matematika.
Kompilasi hasil-hasil karya matematikawan sebelumnya lewat buku Elements, menunjukkan “benang merah” bahwa pengembangan matematika tidak lepas dari peran pemikir Yunani. Kritik terhadap Euclid justru memicu munculnya non-Euclidian yang melengkapi bahasan Euclid. Bentuk parabola, hiperbola dan elips mulai mendapatkan perhatian dari para matematikawan. Read More..
(“There is no royal road to geometry”)
Euclid
Pemberi dasar bahwa matematika adalah ilmu yang perlu pembuktian
Riwayat
Tidak lama Pythagoras meninggal, lahirlah Euclid. Pada era ini matematika lebih dikenal sebagai sains dan kurang mistik. Theorema-theorema baru ditambahkan: kurva-kurva, lingkaran-lingkaran dan bentuk-bentuk lain dipelajari sama halnya seperti garis lurus dan bidang–bidang datar. Tahun yang disebut di atas hanya prakiraan karena tidak adanya sumber yang layak dipercaya. Ada sumber yang menyebutkan Euclid hidup antara tahun 330 - 275 SM. Lembaga yang menaungi pembelajaran saat itu adalah akademi Plato. Masa keemasan Yunani dan kebebasan berekspresi membuat pemikir-pemikir baru bermunculan. Didirikan pada 380 SM, lolos dari invasi-invasi yang datang silih berganti, hidup dalam suksesi banyak tiran dan menjadi saksi keruntuhan dua kebudayaan besar – Yunani dan Romawi – sebelum akhirnya ditutup pada abad keenam oleh kaisar Justinian.
Euclid diperkirakan belajar pada akademi Plato ini sebelum diangkat menjadi pengajar matematika di tempat yang sama. Ada cerita Euclid masih mengajar di akademi ini ketika Alexander Agung menyatakan misinya untuk menaklukkan dunia. Yunani, bersama Mesir dan Mediterian dan negara-negara di kepulauan Yunani ditaklukkan oleh angkatan perang Macedonian. Pada tahun 332 SM, Alexander Agung menetapkan ibukota negara di Alexandria, Mesir dan sembilan tahun kemudian ia meninggal pada usia 33 tahun. Tahta diberikannya kepada jendral Ptolemy atau Claudius Ptolemaeus.
Universitas Ptolemy
Ptolemy - orang terpelajar *, membangun bukan saja suatu dinasti, mencakup salah satu keturunannya yang sangat terkenal, Kleopatra, tetapi juga mendirikan universitas yang lebih besar dari akademi Plato dan mengundang Euclid untuk mengajar di sana. Di tempat baru ini, Euclid merintis pengajaran matematika dan tinggal di sana sampai akhir hayatnya. Sebagai seorang guru, dia barangkali salah satu mentor Archimedes.
Ada legenda yang menceritakan bahwa anak Ptolemy bertanya kepada Euclid apabila ada cara mudah belajar geometri dengan mempelajari semua preposisi. “Tidak ada cara mulus mempelajari geometri,” adalah jawaban Euclid sambil menyuruh pangeran kembali membaca buku geometri. Jawaban ini menjadi kutipan (quotation) terkenal dari Euclid.
Euclid meninggal namun universitas Ptolemy di Alexandria terus berjalan. Salah satu murid terbesarnya – tanpa mengesampingkan teman sesama mahasiswa, adalah Archimedes. Orang Yunani dari Syracuse yang menimba ilmu di universitas, dimana salah satu pengajarnya adalah Euclid.
Pribadi Euclid
Euclid dapat disebut sebagai matematikawan utama. Dia dikenal karena peninggalannya berupa karya matematika yang dituang dalam buku The Elements sangatlah monumental. Buah pikir yang dituangkan ke dalam buku tersebut membuat Euclid dianggap sebagai guru matematika sepanjang masa dan matematikawaan terbesar Yunani.
Pribadi Euclid digambarkan sebagai orang yang baik hati, jujur, sabar dan selalu siap membantu dan bekerjasama dengan orang lain. Banyak theorema-theorema yang dijabarkannya merupakan hasil karya pemikir-pemikir sebelumnya termasuk Thales, Hippokrates dan Pythagoras.
Banyak informasi salah tentang Euclid. Ada yang menyebutkan bahwa dia adalah anak Naucrates yang lahir di Tyre. Informasi lain mengemukakan bahwa di lahir di Megara. Memang ada nama yang sama, Euclid dan lahir di Megara, tetapi hal itu terjadi 100 tahun sebelum kelahiran Euclid dan profesi Euclid dari Megara adalah filsuf. Euclid sendiri lahir di Alexandria. Kesalahan nama ini jamak terjadi karena pada masa itu banyak orang bernama Euclid.
Karya besar Euclid
The Element dapat dikatakan karya fenomenal pada jaman itu. Terdiri dari 13 buku yang tersusun berdasarkan tema dan topik. Setiap buku diawali dengan difinisi, postulat (hanya untuk buku I), preposisi, theorema sebelum ditutup dengan pembuktian dengan menggunakan difinisi dan postulat yang sudah disebutkan. Buku ini ke luar Yunani tahun 1482, diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dan Arab, serta menjadi buku teks geometri dan logika pada awal tahun 1700-an. Garis besar isi masing-masing buku.
Buku I : Dasar-dasar geometri: teori segitiga, sejajar dan luas
Buku II : Aljabar geometri
Buku III : Teori-teori tentang lingkaran
Buku IV : Cara membuat garis dan gambar melengkung
Buku V : Teori tentang proporsi-proporsi abstrak
Buku VI : Bentuk yang sama dan proporsi-proporsi dalam geometri
Buku VII : Dasar-dasar teori angka
Buku VIII : Proporsi-proporsi lanjutan dalam teori angka
Buku IX : Teori angka
Buku X : Klasifikasi
Buku XI : Geometri tiga dimensi
Buku XII : Mengukur bentuk-bentuk
Buku XIII : Bentuk-bentuk tri-matra (tiga dimensi)
Euclid mencetuskan 5 postulat yang kemudian menjadi pokok bahasan. Agar tidak terjadi salah interpretasi, maka postulat kelima juga disajikan dalam bahasa Inggris. Hal ini disengaja, karena munculnya geometri non-Euclidian, dirintis oleh Gauss, diawali dengan menganggap postulat kelima salah total..
1. Garis lurus dapat digambar dari (sembarang) titik sampai (sembarang) titik lainnya.
2. Ujung garis lurus dapat dilanjutkan terus sebagai garis lurus.
3. Lingkaran dapat digambar dari sembarang titik pusat dan dengan jari-jari berbeda.
4. Semua sudut-sudut di sisi kanan besarnya sama dengan sisi lainnya.
5. Apabila garis lurus terpotong menjadi dua garis lurus, menyudut di sisi dalam pada kedua garis pada sisi yang sama daripada dua sudut yang sejajar, jika diteruskan sampai ke (titik) tak terhingga, akan berpotongan pada sisi dimana sudutnya lebih kecil dibandingkan sudut yang terbentuk dari dua garis.
(If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side together less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which the angles are together less than two right lines)
Theorema-theorema pada Elements adalah kompilasi karya para matematikawan sebelumnya – Pythagoras, Eudoxus, Menaechunus, Hippocrates, menampilkan pembuktian-pembuktian kuno dengan mengganti dengan baru dan disederhanakan. Element menjadi – dan abadi – buku teks baku dalam geometri. Saat mesin cetak ditemukan, buku ini termasuk buku pertama yang dicetak.
Euclid mencoba memecahkan problem irrasional yang membuat Pythagoras putus-asa. Dengan menggunakan contoh segitiga siku-siku dengan panjang kedua sisinya 1, maka sisi panjang segitiga adalah x² = 2. Euclid membuat asumsi bahwa solusinya dapat ditemukan. Solusi versi Euclid hanya menyebutkan bahwa v2 adalah (bilangan) irrasional yang artinya bilangan tersebut tidak dapat dibuat nisbah (ratio), bukan karena bilangan tersebut “kurang waras.” Rasanya ketiga-belas buku dan “kandungan” lima postulat sulit dibantah. Ternyata ada ‘cacat’ pada postulat kelima.
Cacat pada postulat Euclid
Semua postulat membawa apa yang disebut dengan pembuktian diri (self-evidence). Postulat kelima dibuktikan oleh Euclid tanpa memberikan cara pembuktian. Upaya pertama untuk membuktikan postulat kesejajaran ini dilakukan oleh Girolamo Saccheri, pendeta Jesuit berkebangsaan Italia, yang mendukung Euclid dengan menerbitkan buku berjudul Euclides ab omni naevo vindicatus (“Euclid bebas dari semua kesalahan”) pada tahun 1733. Buku tersebut tidak dapat menuntaskan kesalahan Euclid. Matematikawan terkemuka Jerman, Gauss, pertama kali menemukan kesalahan postulat kelima tapi malu untuk mempublikasikannya sehingga kehormatan diberikan kepada dua matematikawan lain yang mengungkapkannya dengan cara penemuan Gauss. Janos Bolyai dari Hongaria dan Nicolai Lobachevsky secara terpisah mampu membuktikan cacat postulat kelima Euclid dengan cara berbeda pula.
Penemuan kesalahan ini membuat berkembangnya geometri model baru. Dirintis oleh Beltrami dari Italia, disusul Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis dan Felix Klein dari Jerman. Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuai kecil terhadap postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jerman sehingga muncul bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, ellips yang merupakan jawaban bahwa alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid (non-Euclidian).
Tiga problem matematika klasik
Para matematikawan sejak dahulu berkutat dengan tiga problem yang tidak dapat dipecahkan pada saat itu. Memang ketiga problem itu menjadi mudah setelah ada “campur-tangan” pada matematikawan modern yang terus menyempurnakan alat-alat matematika. Adapun ketiga problem ini adalah:
1. Persamaan pangkat 3
4x³ - 3x - a = 0
a adalah angka tertentu. Saat itu Yunani tidak mengenal pangkat tiga (kubik). Dengan penggaris dan kompas mereka hanya mampu menyelesaikan persamaan linier (pangkat 1) dan persamaan kuadrat (pangkat 2).
2. Menggandakan kuadrat
2x³ = y³ atau x³ = 2.
Problem yang tidak dapat dipecahkan terjadi karena sebuah legenda. Bangsa Athena, menurut cerita, konsultasi dengan Orakel (tempat dibangun kuil dan dewa bersabda) sebelum melakukan kampanye perang dan dijawab bahwa untuk mempertahankan kejayaan mereka harus menggandakan lebar altar pemujaan terhadap Apolo (Anak Zeus yang dipercayai oleh ayahnya untuk menyingkapkan keputusan-keputusan ayahhandanya untuk umat manusia), yang berbentuk kubus. Mereka segera membuat altar dengan dua kali panjang, dua kali lebar dan dua kali tinggi dibanding altar aslinya.
Percaya bahwa mereka sudah memenuhi keinginan Oracle, mereka dengan penuh percaya diri menuju perang – dan kalah. Ternyata, mereka membuat altar delapan kali besarnya, bukan 2 kali.
3. Menggambar lingkaran.
Karena tidak ada alat yang tersedia, pada saat itu, tidaklah dimungkinkan menggambar lingkaran bahkan dinyatakan dalam bentuk persamaan aljabar. Problem menyangkut menentukan besaran p (pi), nisbah antara lingkaran dan diameter. Kendala datang dari p yang merupakan bilangan irrasional sekaligus transendental (= bukan bilangan yang dapat diekspresikan dalam aljabar. Sulit ‘memahami alam tanpa kehadiran bilangan ini. Ada 2 bilangan transendental yang terkenal: p dan e).
Ketiga problem klasik ini akan selalu membayangi kiprah para matematikawan. Tidak terkecuali Euclid, tanpa pernah dapat menyelesaikan. Matematikawan berikutnya akan selalu menghadapi dan berupaya memecahkan problem tersebut. Penyelesaian suatu problem berarti nama baik sekaligus prestasi. Tidak jarang terjadi kecurangan, saling “curi” ide, penghianatan. Dan hal ini selalu terjadi di jaman dulu sampai jaman sekarang. Banyak contoh dapat dibaca pada riwayat-riwayat para matematikawan selanjutnya.
Euclid dan bilangan prima
Euclid, seperti matematikawan jaman sekarang, mempelajari bilangan prima, mencari untuk menentukan bilangan mana yang masuk kategori prima atau bukan. Euclid tidak pernah dapat menentukan bilangan prima, tetapi dia mampu memberikan jawaban tentang bilangan prima: bilangan prima itu tidak terhingga.
Anak SD sekarang sudah terbiasa dengan bilangan prima. Dari angka 2 sampai dengan 50 terdapat 15 bilangan prima (2, 3, 5, 7, 11, 13, `7, `9, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) ; dari 50 sampai dengan 100 hanya 10 bilangan prima.
Euclid membuat pernyataan: jika bilangan prima terbesar adalah n, maka pasti ada bilangan > n, di mana dapat dicari dengan menggunakan 1 x 2 x 3 dan seterusnya sampai n, kemudian ditambah 1 untuk mendapatkan hasilnya. Simbol matematika untuk mengekspresikan adalah n! + 1 (n faktorial ditambah 1).
Kondisi sekarang
Apabila dahulu Euclid dipuja, sekarang keadaan berbalik. Banyak pengikutnya mulai “menyerang” Euclid dengan menyebut dia terlalu arogan dan memaksakan suatu pembuktian yang dibuatnya selalu benar, misalnya: salah satu sisi segitiga tidak akan lebih panjang daripada jumlah kedua sisi lainnya. Matematikawan modern mengkritik Euclid dari sudut pandang lain, yaitu: Euclid tidak cermat dalam melakukan pembuktian. Terdapat beberapa kesalahan dan ide-ide yang tidak dapat dipertanggungjawabkan. Yang paling mencolok adalah postulat kelima yang juga lazim disebut dengan postulat kesejajaran.
Para matematikawan berikutnya tidak dapat menerima pernyataan-pernyataan (postulat) yang tidak dapat dibuktikan itu. Kemudian, muncul geometri non-Euclidian yang menggantikan postulat-postulat itu dengan pernyataan yang dapat diterima umum.
Masa tua Euclid
Pindah untuk mengajar di Alexandria yang lebih kosmopolitas, modern tidak membuat Euclid gembira dibandingkan tinggal di kota-kota di Yunani yang makin lama makin sepi. Di sini dia melihat aplikasi matematika. Pompa air, air terjun buatan bahkan motor yang digerakkan tenaga uap tidak memberi makna kehidupan bagi Euclid. Ia lebih suka matematika untuk dipelajari bukan untuk aplikasi. Euclid meninggal di Alexandria.
* Seorang astronomer yang menghitung gerakan bumi, bulan dan matahari. Perhitungan ini kelak akan disempurnakan oleh Newton.
Sumbangsih
Format yang dibuat Euclid membantu terjadi standarisasi matematika Yunani. Subyek-subyek yang dibahas oleh Euclid mencakup bentuk-bentuk, theorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen, geometri ruang, teori proporsi, bilangan prima, bilangan sempurna, integer positif, bilangan irrasional, gambar tri-matra (tiga dimensi). Euclid meninggalkan warisan yang berguna bagi pengembangan matematika.
Kompilasi hasil-hasil karya matematikawan sebelumnya lewat buku Elements, menunjukkan “benang merah” bahwa pengembangan matematika tidak lepas dari peran pemikir Yunani. Kritik terhadap Euclid justru memicu munculnya non-Euclidian yang melengkapi bahasan Euclid. Bentuk parabola, hiperbola dan elips mulai mendapatkan perhatian dari para matematikawan. Read More..
Senin, 20 Juni 2011
Menaechmus (380 – 320 SM)
Riwayat
Disebutkan bahwa Menaechmus adalah murid Eudoxus yang lahir di Alopeconnesus, Asia kecil (sekarang Turki). Tempat kelahiran itu letaknya tidak jauh dari Cnidus, tempat Eudoxus bermukim dan berkarya. Ada yang menyimpulkan bahwa Menaechmus adalah pembimbing (tutor) dari Alexander Agung karena profesi sehari-harinya adalah sebagai kepala sekolah di Cnidus.
Menaechmus dikenal karena penemuannya tentang potongan-potongan kerucut dan dia pula yang pertama kali menunjukkan bahwa bentuk elips, parabola dan hiperbola diperoleh dengan memotong kerucut - sebagai sebuah ruang - tidak sejajar dengan dasar kerucut. Istilah parabola dan hiperbola tidak dikenal saat ini dan baru dinamai oleh Apollonius, meskipun ada bukti yang menyebutkan bahwa istilah parabola dan hiperbola usianya lebih tua dari Apollonius.
Potongan kerucut
Potongan-potongan kerucut penemuan Menaechmus ditemukan secara tidak sengaja ketika dia berusaha menyelesaikan problem dalam perbandingan (nisbah) antara dua garis lurus. Hasilnya adalah menyelesaikan problem duplikasi kubus dengan menggunakan potongan-potongan kerucut. Misal: diketahui garis lurus dengan ujung a dan b; kita ingin mencari perbandingan titik-titik x dan y yang terletak diantaranya:
a : x = x : y = y : b diperoleh a/x = y/b → xy = ab
Perhatikan nilai x dan y ditemukan dari titik-titik potong parabola: x² = ay dan hiperbola tegak lurus xy = ab. Di sini tidak tampak upaya Menaechmus menyelesaikan problem, namun di sini ditampilkan pula istilah modern tentang bagaimana parabola dan hiperbola mampu menjadi solusi bagi problem matematika.
Perhatikanlah:
a/x = x/y → x² = ay; dan x/y = y/b → y² = bx
Dapat diketahui nilai x dan y adalah titik-titik potong dua parabola x² = ay dan y² = bx.
Sumbangsih
Penemuan tidak sengaja potongan-potongan kerucut dari Menaechmus kelak mendasari [Blaise] Pascal untuk menjabarkan lebih lanjut dengan bentuk-bentuk elips, parabola dan hiperbola. Penjabaran dan pengambaran bentuk geometri lewat persamaan adalah suatu hal baru. Titik-titik potong pada parabola dan hiperbola kelak “disederhanakan” oleh Descartes. Read More..
Disebutkan bahwa Menaechmus adalah murid Eudoxus yang lahir di Alopeconnesus, Asia kecil (sekarang Turki). Tempat kelahiran itu letaknya tidak jauh dari Cnidus, tempat Eudoxus bermukim dan berkarya. Ada yang menyimpulkan bahwa Menaechmus adalah pembimbing (tutor) dari Alexander Agung karena profesi sehari-harinya adalah sebagai kepala sekolah di Cnidus.
Menaechmus dikenal karena penemuannya tentang potongan-potongan kerucut dan dia pula yang pertama kali menunjukkan bahwa bentuk elips, parabola dan hiperbola diperoleh dengan memotong kerucut - sebagai sebuah ruang - tidak sejajar dengan dasar kerucut. Istilah parabola dan hiperbola tidak dikenal saat ini dan baru dinamai oleh Apollonius, meskipun ada bukti yang menyebutkan bahwa istilah parabola dan hiperbola usianya lebih tua dari Apollonius.
Potongan kerucut
Potongan-potongan kerucut penemuan Menaechmus ditemukan secara tidak sengaja ketika dia berusaha menyelesaikan problem dalam perbandingan (nisbah) antara dua garis lurus. Hasilnya adalah menyelesaikan problem duplikasi kubus dengan menggunakan potongan-potongan kerucut. Misal: diketahui garis lurus dengan ujung a dan b; kita ingin mencari perbandingan titik-titik x dan y yang terletak diantaranya:
a : x = x : y = y : b diperoleh a/x = y/b → xy = ab
Perhatikan nilai x dan y ditemukan dari titik-titik potong parabola: x² = ay dan hiperbola tegak lurus xy = ab. Di sini tidak tampak upaya Menaechmus menyelesaikan problem, namun di sini ditampilkan pula istilah modern tentang bagaimana parabola dan hiperbola mampu menjadi solusi bagi problem matematika.
Perhatikanlah:
a/x = x/y → x² = ay; dan x/y = y/b → y² = bx
Dapat diketahui nilai x dan y adalah titik-titik potong dua parabola x² = ay dan y² = bx.
Sumbangsih
Penemuan tidak sengaja potongan-potongan kerucut dari Menaechmus kelak mendasari [Blaise] Pascal untuk menjabarkan lebih lanjut dengan bentuk-bentuk elips, parabola dan hiperbola. Penjabaran dan pengambaran bentuk geometri lewat persamaan adalah suatu hal baru. Titik-titik potong pada parabola dan hiperbola kelak “disederhanakan” oleh Descartes. Read More..
Langganan:
Postingan (Atom)
