Pythagoras (580 - 475 SM)

“Apabila bilangan mengatur alam semesta, Bilangan adalah kuasa yang diberikan kepada kita guna mendapatkan mahkota, untuk itu kita menguasai bilangan.
If “Number rules the universe, Number is merely our delegate to the throne, for we rule Number.”
Pythagoras

Masa kecil
Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani selatan sekitar 580 SM (Sebelum Masehi). Dia sering melakukan perjalanan ke Babylon, Mesir dan diperkirakan pernah sampai di India. Di Babylon, teristimewa, Pythagoras menjalin hubungan dengan ahli-ahli matematika. Setelah lama menjelajah pulau kecil, Pythagoras meninggalkan tanah kelahirannya dan pindah ke Crotona, Italia. Diperkirakan Pythagoras sudah melihat 7 keajaiban dunia (kuno), dimana salah satunya adalah  kuil Hera yang terletak di kota kelahirannya. Sekarang, kuil Hera sudah runtuh dan hanya tersisa 1 pilar yang tidak jauh dari kota Pythagorian (namanya dipakai untuk mengenang putra terbaiknya).Menyeberangi selat dan beberapa mil ke utara adalah Turki, terdapat keajaiban lain yaitu: Ephesus.
Pythagoras adalah anak Mnesarchus, seorang pedagang yang berasal dari Tyre. Pada usia 18 tahun dia bertemu dengan Thales. Thales, seorang kakek tua, mengenalkan matematika kepada Pythagoras lewat muridnya yang bernama Anaximander, namun yang diakui oleh Pythagoras sebagai guru adalah Pherekydes.
Pythagoras meninggalkan Samos pada tahun 518 SM. Tidak lama kemudian dia membuka sekolah di Croton yang menerima murid tanpa membedakan jenis kelamin. Sekolah itu menjadi sangat terkenal bahkan Pythagoras akhirnya menikah dengan salah satu muridnya. Gambaran rinci tentang Pythagoras tidak terlalu jelas. Dikatakan setelah itu, dia pergi ke Delos pada tahun 513 SM untuk merawat penolong sekaligus gurunya, Pherekydes. Pythagoras menetap di sana sampai dia meninggal pada tahun 475 SM. Sepeninggalnya, sekolah Croton berjalan terseok-seok dan banyak konflik internal, tetapi dapat terus berjalan sampai 500 SM sebelum menjadi alat politik.
Bagaimana Pythagoras menciptakan kultus terhadap angka?

Angka adalah “dewa”
Matematika dan “mitos-mitos” palsu tentang angka tidak dapat dipisahkan. Setiap angka adalah simbol atau melambangkan sesuatu yang terkait dengan metafisik adalah hal lumrah di Cina. Pythagoras pun tidak luput dari “perangkap” mitos tentang angka. Dia mengajarkan bahwa: angka satu untuk alasan, angka dua untuk opini, angka tiga untuk potensi, angka empat untuk keadilan, angka lima untuk perkawinan, angka tujuh untuk rahasia agar selalu sehat, angka delapan adalah rahasia perkawinan. Angka genap adalah wanita dan angka ganjil/gasal adalah pria. “Berkatilah kami, angka dewa,” adalah kutipan dari para pengikut Pythagoras yang memberi perlakuan khusus terhadap angka empat,”yang menciptakan dewa-dewa dan manusia, O tetraktys suci yang mengandung akar dan sumber penciptaan yang berasal dari luar manusia.
Pemujaan angka seperti layaknya tukang sihir dengan bola kristalnya barangkali – di kemudian hari, mendasari para matematikawan setelah Pythagoras. Ucapan Plato “Tuhan memahami geometri” atau kutipan Galileo “Buku terbesar tentang alam ditulis dengan simbol-simbol matematika.” Apakah itu termasuk ilmu sihir atau matematika. Yang jelas matematika lebih sulit untuk dipahami.
Hubungan matematika dengan musik dekat sekali. Tidaklah mengherankan apabila Pythagoras juga mampu menjadi seorang musisi. Mitos bilangan Pythagoras terkandung lewat “keajabiban” pentagram. Bentuk segi-lima yang makin lama makin kecil sampai takterhingga.

Pythagoras sebagai pemusik

Pythagoras juga dikenal sebagai musisi berbakat, seorang pemain lira. Penemuan musik terkait dengan matematika diawali ketika Pythagoras bermain monokord, sebuah kotak dengan bentangan tali-tali di atas salah satu sisinya. Dengan menggerakkan jari naik dan turun pada garis-garis yang sengaja dibuat, Pythagoras mengenali bahwa suara yang dihasilkan dapat diperkirakan. Ketika bagian tengah ditekan, setiap bagian atas tali dan bawah tali menghasilkan nada sama: nada yang tepat 1 oktaf * lebih tinggi dibandingkan apabila monokord tidak ditekan. Dengan membagi monokord dengan nisbah 3/4 dan 2/5, ternyata setiap nisbah menghasilkan nada yang berbeda, merdu atau fals. Baginya, harmoni musik adalah aktivitas matematika. Harmoni dari monokord adalah harmoni matematika – dan harmoni alam semesta. Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah tidak hanya berlaku pada musik tetapi juga pada pelbagai jenis keindahan lain. Para pengikut Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah dan proporsi mengendalikan keindahan musik, kecantikan fisik dan keanggunan matematika.
Contoh: sebuah tali panjang yang menghasilkan nada C, kemudian 16/15 dari panjang tali C menghasilkan notasi B; 6/5 panjang tali C menghasilkan notasi A, 4/3 panjang tali C menghasilkan notasi G; 3/2 panjang tali C menghasilkan notasi F; 8/5 panjang tali C menghasilkan notasi E; 16/9 panjang tali C menghasilkan notasi D dan 2/1 panjang tali C menghasilkan notasi C rendah.
Penelitian tentang suara mencapai puncaknya pada abad 19 setelah John Fourier mampu membuktikan bahwa semua suara – instrumental maupun vokal – dapat dijabarkan dengan matematika, yaitu jumlah fungsi-fungsi Sinus sederhana. Menurutnya, suara mempunyai 3 kategori – pitch, loudness dan quality. Penemuan Fourier ini memungkinkan ketiga kategori tersebut digambar dan dibedakan. Pitch terkait dengan frekuensi kurva, loudness terkait dengan amplitudu dan quality terkait dengan bentuk dari fungsi periodik. Lewat motto “Angka adalah dewa”, Pythagoras mampu menggalang sejumlah pengikut.


Para pengikut Pythagoras (Pythagorean)
Pythagoras barangkali dapat disebut sebagai pemikir new ages pada jamannya. Dia juga seorang orator ulung, intelektual terkenal sekaligus guru yang kharismatik. Semua itu membuat banyak orang ingin belajar darinya. Tidaklah mengherankan apabila tidak lama kemudian dia mempunyai banyak pengikut dan disusul dengan mendirikan sekolah.
Falsafah dasar yang paling penting bagi Pythagoras adalah: angka. Yunani mewarisi pemahaman tentang angka dari geometrik Mesir. Hasilnya, ahli matematika Yunani tidak dapat membedakan antara bentuk (shapes) dengan bilangan (numbers). Pada saat ini untuk membuktikan theorema matematika biasa digunakan gambar-gambar yang digambar dengan menggunakan sejenis penggaris yang terbuat dari logam atau batu dan kompas.
Nisbah-nisbah adalah kunci untuk memahami alam, Pythagorean dan matematikawan lebih modern menghabiskan banyak energi dengan menggali lebih dalam teori-teori mereka. Akhirnya mereka memilah proporsi ke dalam sepuluh kategori berbeda yang disebut dengan titik tengah harmonis (harmonic means). Salah satu dari titik tengah ini mengandung angka paling “cantik” di dunia: nisbah emas (golden ratio). Tidak ada yang istimewa dari nisbah emas ini, tetapi sesuatu yang terinspirasi oleh nisbah emas tampaknya merupakan obyek-obyek yang sangat indah. Bahkan sampai saat ini, artis dan arsitek secara intuitif mengetahui bahwa obyek-obyek yang mengandung nisbah emas nampak artistik. Dan nisbah ini mempengaruhi banyak pekerjaan pada bidang seni dan arsitektur. Parthenon, kuil Athena terbesar, dibangun dengan kaidah nisbah emas ada pada setiap aspek kontruksinya. Dalam pikiran Pythagorean, nisbah mengendalikan alam semesta dan berarti sahih bagi seluruh dunia Barat pula.

Cacat pada doktrin Pythagorean
Angka nol tidak mendapat tempat dalam kerangka kerja Pythagorean. Angka nol tidak ada atau tidak dikenal dalam kamus Yunani. Menggunakan angka nol dalam suatu nisbah tampaknya melanggar hukum alam. Suatu nisbah menjadi tidak ada artinya karena “campur tangan” angka nol. Angka nol dibagi suatu angka atau bilangan dapat menghancurkan logika. Nol membuat “lubang” pada kaidah alam semesta versi Pythagorean, untuk alasan inilah kehadiran angka nol tidak dapat ditolerir. Pythagorean juga tidak dapat memecahkan “problem” dari konsep matematika – bilangan irrasional, yang sebenarnya juga merupakan produk sampingan (by product) rumus: a² + b² = c². Konsep ini juga menyerang sudut pandang mereka, namun dengan semangat persaudaraan tetap dijaga sebagai sebuah rahasia. Rahasia ini harus tetap dijaga jangan sampai bocor atau kultus mereka hancur. Mereka tidak mengetahui bahwa bilangan irrasional adalah “bom waktu” bagi kerangka berpikir matematikawan Yunani.
Nisbah antara dua angka tidak lebih dari membandingkan dua garis dengan panjang berbeda. Anggapan dasar Pythagorean adalah segala sesuatu yang masuk akal dalam alam semesta berkaitan dengan kerapian (neatness), proporsi tanpa cacat atau rasional. Nisbah ditulis dalam bentuk a/b bilangan utuh, seperti: 1, 2 atau 17, dimana b tidak boleh sama dengan nol karena dengan itu akan menimbulkan bencana. Tidak perlu dijelaskan lagi, alam semesta tidak sesuai dengan kaidah tersebut. Banyak angka tidak dapat dinyatakan semudah itu ke dalam nisbah a/b. Kehadiran angka irrasional tidak dapat dihindari lagi adalah konsekuensi matematikawan Yunani.
Persegi panjang adalah bentuk paling sederhana dalam geometri, tetapi dibaliknya terkandung bilangan irrasional. Apabila anda membuat garis diagonal pada persegi panjang – muncul irrasional, dan kelak besarnya ditentukan oleh akar bilangan. Bilangan irrasional terjadi dan akan selalu terjadi pada semua bentuk geometri. Contoh lain, segi tiga siku-siku dengan panjang kedua sisi adalah satu, dapat dihitung panjang sisi lain – dengan rumus Pythagoras, yaitu: v2. Sangatlah sulit menyembunyikan hal ini bagi orang yang paham geometri dan nisbah.

Hippasus menyangkal
Rahasia ini akhirnya dibocorkan oleh seorang pengikut Pythagorean yang merasa bahwa dia harus mengungkapkan kebenaran. Hippasus adalah matematikawan yang menjadi murid sekaligus pengikut Pythagoras. Hippasus berasal dari Metapontan. Pengungkapan rahasia membuat dia dijatuhi hukuman mati. Cerita tentang bagaimana meninggalnya Hipassus ada berbagai versi. Beberapa mengatakan bahwa Hippasus ditenggelamkan di laut, sebagai konsekuensi menghancurkan teori indah dengan fakta-fakta menyesatkan. Sumber lain menyebutkan bahwa para pengikut Pythagoras mengubur dia hidup-hidup. Lainnya menyebutkan bahwa Hippasus, dibuang atau diasingkan dalam ruangan tertutup tanpa pernah bertemu orang lagi.
Tanpa usaha mengklarifikasikan mana yang benar, namun yang jelas pengungkapan oleh Hippasus ini mengoncangkan fondasi-fondasi doktrin Pythagoras. Dalam hal ini Pythagorean menanggap bahwa bilangan irrasional hanya sebagai suatu perkecualian. Mereka tidak dapat membuktikan bahwa bilangan irrasional mencemari pandangan mereka tentang alam semesta.

Meninggalnya Pythagoras
Para pengikut Pythagoras menyatakan bahwa guru mereka meninggal dengan cara yang unik. Beberapa dari mereka menyatakan Pythagoras mogok makan, sebagian lagi menyatakan bahwa dia mengurung dan berdiam diri. Cerita lain menyatakan bahwa konon rumahnya dibakar oleh para musuhnya (mereka yang merasa tersingkirkan oleh kehadiran Pythagoras di tempat itu). Semua pengikutnya ke luar dari rumah terbakar dan lagi ke segala penjuru untuk menyelamatkan diri. Massa yang membakar rumah itu kemudian membantai para pengikutnya (pythagorean) satu per satu. Persaudaraan sudah dihancurkan. Pythagoras sendiri berusaha melarikan diri tetapi tertangkap dan dipukuli. Dia disuruh berlari di suatu ladang, namun mengatakan bahwa dia lebih baik mati. Kemudian diambil keputusan bersama dan diputuskan: Pythagoras dihukum pancung di muka umum.
Meskipun persaudaraan sudah bubar dan pemimpinnya terbunuh, esensi ajaran Pythagoras terus bertahan sampai sekarang. Falsafah Barat banyak dipengaruhi oleh pemikiran Pythagoras – seperti halnya doktrin Aristoteles, ternyata mampu bertahan hampir 2 milenium. Angka nol dan bilangan irrasional bertentangan dengan doktrin tersebut, tetapi memberi landasan bagi para matematikawan berikutnya agar memperhatikan angka nol dan bilangan irrasional.

*) Oktaf artinya 8 yaitu: nada dari 1(do) sampai 1 (do tinggi) atau dari C sampai C lagi

Sumbangsih
Penemuan Pythagoras dalam bidang musik dan matematika tetap hidup sampai saat ini. Theorema Pythagoras tetap diajarkan di sekolah-sekolah dan digunakan untuk menghitung jarak suatu sisi segitiga. Sebelum Pythagoras belum ada pembuktian atas asumsi-asumsi. Pythagoras adalah orang pertama yang mencetuskan bahwa aksioma-aksioma, postulat-postulat perlu dijabarkan terlebih dahulu dalam mengembangkan geometri.
Manfaat ini, kelak, membuat matematika tetap dapat digunakan sebagai alat bantu dalam melakukan perhitungan terhadap pengamatan terhadap fenomena-fenomena alam, setelah melalui pengembangan dan penyempurnaan oleh para matematikawan setelah Pythagoras. Theorema Pythagoras mendasari adanya theorema Fermat (tahun 1620): xn + yn = zn yang baru dapat dibuktikan oleh Sir Andrew Wiles pada tahun 1994. Read More..

Anaximander (611 S.M. – 545 S.M.)

Riwayat
Anaximander sukses meneruskan jabatan kepala sekolah di Miletus setelah Thales meninggal. Menurut Suidas, Anaximander menulis makalah tentang geometri, yang lebih memberikan penekanan diri pada penelitian tentang bola dan mengembangkan ide-ide filsafat yang berhubungan dengan ruang dan waktu. Dikatakan pula bahwa Anaximander sudah membuat globe.

Anaximander adalah orang yang untuk pertama kali mengenalkan penggunaan gnomon (= tongkat penunjuk yang dipasang di tanah datar untuk menghitung waktu), kelak teknik ini menjadi dasar terciptanya piringan matahari (sundial) guna menentukan waktu.

Mengajar Pythagoras
Pemikiran Thales tidak secara langsung dapat dipahami oleh Pythagoras. Diduga Pythagoras memahami pemikiran-pemikiran Thales lewat Anaximander. Menurut legenda, ayah Pythagoras meninggal pada saat Pythagoras bermur 18 tahun. Pamannya memberinya perak dan surat pengantar, dan mengirimnya untuk belajar pada filsuf Pherecydes yang tinggal di pulau Lesbos (asal kata lesbian).

Pherecydes mengenalkan ajaran tentang hidup abadi (immortaility) dan reinkarnasi kepada Pythagoras. Keduanya kemudian menjadi sahabat kental, namun Pythagoras tidak lama tinggal di Lesbos. Pada kisaran usia 20 tahun, Pythagoras meninggalkan Lesbos dan melakukan perjalanan ke Miletus dan menimba ilmu di sini yaitu di bawah bimbingan Anaximander. Ada versi lain yang menyebut bahwa pada saat ini Pythagoras belajar langsung di bawah bimbingan Thales, tapi mengingat perbedaan umur antara keduanya, hipotesis ini sulit terjadi. Thales meninggal tahun 550 S.M. sedang Pythagoras lahir pada tahun 589 S.M., dimana yang satu sudah tua renta dan lainnya masih muda usia dan ada perbedaan lokasi. Banyak kemungkinan selama Miletus, Pythagoras belajar dari Anaximander. Tidak lama di Miletus, Pythagoras melanjutkan perjalanan menuju Mesir.

Sumbangsih
Dari riwayat yang sangat singkat ini sulit menentukan sumbangsih Anaximander, namun kiprahnya adalah merintis studi tentang bola dan membuat globe yang tentunya masih sangat sederhana layak dianggap peran penting Anaximander. Terlebih penting adalah menjembatani pemikiran Thales ke Pythagoras. Read More..

Thales (624 – 550 SM)

Riwayat
Perintis matematika dan filsafat Yunani adalah Thales. Lahir dan meninggal di kota kecil Miletus yang terletak di pantai barat Asia Kecil, sebuah kota yang menjadi pusat perdagangan. Kapal-kapal pedagang dengan mudah berlayar ke Nil di Mesir, sedangkan karavan melakukan perjalanan lewat darat menuju kota di Babylon. Pendudulk Militus suka melakukan kontak dagang dengan kota-kota di Yunani dan warga Phoenisia. Di kota ini juga merupakan tempat pertemuan [dunia] Timur dan Barat, dan tempat lahirnya Thales.

Awalnya, Thales adalah seorang pedagang, profesi yang membuatnya sering melakukan perjalanan. Dalam suatu kesempatan berdagang ke Mesir dan Babilonia (pada maka pemerintahan Nebukadnesar), dalam waktu senggangnya, Thales mempelajari astronomi dan geometri. Hal ini dipicu ketertarikannya bahwa dengan menggunakan ‘alat-alat’ tersebut, mereka dapat memprediksi gerhana matahari setiap tahunnya.

Theorema Thales
Thales mengemukakan proposisi yang dikenal dengan theorema Thales, yaitu:

1.
Lingkaran dibagi dua oleh garis yang melalui pusatnya yang disebut dengan diameter.
2.
Besarnya sudut-sudut alas segitiga sama kali adalah sama besar.
3.
Sudut-sudut vertikal yang terbentuk dari dua garis sejajar yang dipotong oleh sebuah garis lurus menyilang, sama besarnya.
4.
Apabila sepasang sisinya, sepasang sudut yang terletak pada sisi itu dan sepasang sudut yang terletak dihadapan sisi itu sama besarnya, maka kedua segitiga itu dikatakan sama sebangun.
5.
Segitiga dengan alas diketahui dan sudut tertentu dapat digunakan untuk mengukur jarak kapal.

Tidak ada catatan lebih jauh tentang prestasi Thales yang dapat disimak karena tidak ada bukti-bukti akurat. Bukti dicoba dicari lewat catatan dari para muridnya seperti: Aristoteles dan Eudemus dari Rhodes (± 320 SM), yang kurun waktunya relatif terlalu lama. Catatan Eudemus menyebutkan bahwa Thales adalah orang yang ‘mengubah geometri menjadi bentuk formal yang dapat dipelajari oleh semua orang’ karena mendasarkan diri pada prinsip-prinsip dan melakukan investigasi terhadap theorema-theorema dengan sudat pandang seorang intelektual. Thales berbicara tentang garis, lingkaran dan bentuk-bentuk lainnya dengan cara membayangkan (abstrak). Garis bukan hanya susutatu yang dapat digurat dan dilihat di atas pasir, tapi merupakan obyek yang terpeta pada imajinasi kita. Artinya secara abstrak bahwa suatu garis lurus atau lingkaran bulat berada dalam mental kita.

Matematikawan serba bisa
Aktivitas Thales lebih dikenal – dari berbagai sumber terpisah, sebagai matematikawan terapan. Mengukur tinggi piramida dengan mengukur tinggi bayangan dengan menggunakan tongkat, memprediksi gerhana matahari, menentukan setahun adalah 360 hari (sudah dikenal lama oleh bangsa Mesir) maupun jarak kapal di laut dengan lewat cara proporsi/memadankan bentuk segitiga adalah catatan “kehebatan” Thales. Gerhana matahari disebutkannya akan terjadi pada tanggal 28 Mei atau 30 September pada tahun 609 SM. Catatan yang ada menyebutkan bahwa gerhana matahari terjadi setiap kurun waktu 18 tahun 11 hari. Ketepatan prediksi ini membuat namanya sangat terkenal dan diabadikan sebagai salah satu dari tujuh orang bijak (sage) yang terdapat pada hikayat Yunani

Naluri pedagang yang ada pada dirinya, dimana diketahui Thales “memeras” buah zaitun (olive) untuk dijadikan minyak ketika panen melimpah dan akhirnya memberikan keuntungan berlimpah, menjadi pedagang garam sama seperti komentar tentang dirinya sebagai pengamat bintang, penentang hidup selibat bahkan sebagai negarawan yang mempunyai visi jauh ke depan. Tulisan Thales dalam bidang astronomi lebih dikenal daripada karyanya dalam bidang geometri.

Ketenaran ini membuat dirinya mempunyai banyak murid. Anaximander, Anaximenes, Mamercus dan Mandryatus adalah nama dari beberapa muridnya, namun yang sangat terkenal adalah nama yang disebutkan pertama. Anaximander (611 – 545 SM), sukses menggantikan posisi Thales di Miletus.

Sebuah kisah
Thales hidup dalam masa kerajaan yang saling serang untuk memperluas wilayahnya. Keahlian Thales dalam bidang rekayasa diuji pada masa perang ini. Raja Croesus, yang mengagumi Thales, ingin menyerang negara tetangga dan para prajurit harus menyeberangi sungai Halys. Kerajaan Croesus diperkirakan ada di Mesopotamia atau Mesir.

Belum ada jembatan ponton pada masa itu dan tidak ada waktu membangun jembatan permanen.Croesus menyuruh Thales sebagai seorang filsuf sekaligus matematikawan untuk memecahkan problem ini. Di bawah pengarahan Thales dibuatlah kanal untuk mengalihkan aliran sungai untuk sementara. Begitu para prajurit menyeberang dan sukses merebut negara tetangga, kanar kembali ditutup dan aliran sungai kembali seperti semula.

Namun dalam perang tidak ada yang menang selamanya. Raja Cyrus dari Persia akhirnya dapat menangkap dan menawan penerus kerajaan Croesus, Lydia, dalam sebuah pertempuran. Bagaimana akhir atau keruntuhan kerajaan itu sendiri tidak pernah diketahui.

Sebuah Anekdot
Diperkirakan Olimpiade mulai diselenggarakan pada tahun 776 SM, dimana ketika itu sastra Yunani sedang berkembang pesat. Homer dan Hesoid, seperti diketahui, berkarya pada masa-masa ini.

Dalam suatu malam Thales terlalu asyik memandangi bintang-bintang di langit sambil berjalan. Tidak menyadari bahwa di depan terdapat parit, Thales terjatuh ke dalam parit. Seorang nenek yang melihat berkata, “ Bagaimana kamu dapat menjelaskan apa yang terdapat di langit, sedangkan parit yang ada didepanmu saja tidak terlihat?”

Sumbangsih
Barangkali dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan theorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakkan oleh Thales, sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan adalah sesuatu yang sakral, selain memanfaatkan imajinasi. Read More..

Misteri Bilangan Nol

(new)
Yusmichad Yusdja, Staf peneliti pada Pusat Penelitian dan Pengembangan Sosial dan ekonomi Pertanian IPB

Ratusan tahun yang lalu, manusia hanya mengenal 9 lambang bilangan yakni 1, 2, 2, 3, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kemudian, datang angka 0, sehingga jumlah lambang bilangan menjadi 10 buah. Tidak diketahui siapa pencipta bilangan 0, bukti sejarah hanya memperlihatkan bahwa bilangan 0 ditemukan pertama kali dalam zaman Mesir kuno. Waktu itu bilangan nol hanya sebagai lambang. Dalam zaman modern, angka nol digunakan tidak saja sebagai lambang, tetapi juga sebagai bilangan yang turut serta dalam operasi matematika. Kini, penggunaan bilangan nol telah menyusup jauh ke dalam sendi kehidupan manusia. Sistem berhitung tidak mungkin lagi mengabaikan kehadiran bilangan nol, sekalipun bilangan nol itu membuat kekacauan logika. Mari kita lihat.

Nol, penyebab komputer macet

Pelajaran tentang bilangan nol, dari sejak zaman dahulu sampai sekarang selalu menimbulkan kebingungan bagi para pelajar dan mahasiswa, bahkan masyarakat pengguna. Mengapa? Bukankah bilangan nol itu mewakili sesuatu yang tidak ada dan yang tidak ada itu ada, yakni nol. Siapa yang tidak bingung? Tiap kali bilangan nol muncul dalam pelajaran Matematika selalu ada ide yang aneh. Seperti ide jika sesuatu yang ada dikalikan dengan 0 maka menjadi tidak ada. Mungkinkah 5*0 menjadi tidak ada? (* adalah perkalian). Ide ini membuat orang frustrasi. Apakah nol ahli sulap?

Lebih parah lagi-tentu menambah bingung-mengapa 5+0=5 dan 5*0=5 juga? Memang demikian aturannya, karena nol dalam perkalian merupakan bilangan identitas yang sama dengan 1. Jadi 5*0=5*1. Tetapi, benar juga bahwa 5*0=0. Waw. Bagaimana dengan 5o=1, tetapi 50o=1 juga? Ya, sudahlah. Aturan lain tentang nol yang juga misterius adalah bahwa suatu bilangan jika dibagi nol tidak didefinisikan. Maksudnya, bilangan berapa pun yang tidak bisa dibagi dengan nol. Komputer yang canggih bagaimana pun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan pembagi angka nol. Komputer memang diperintahkan berhenti berpikir jika bertemu sang divisor nol.

Bilangan nol: tunawisma

Bilangan disusun berdasarkan hierarki menurut satu garis lurus. Pada titik awal adalah bilangan nol, kemudian bilangan 1, 2, dan seterusnya. Bilangan yang lebih besar di sebelah kanan dan bilangan yang lebih kecil di sebelah kiri. Semakin jauh ke kanan akan semakin besar bilangan itu. Berdasarkan derajat hierarki (dan birokrasi bilangan), seseorang jika berjalan dari titik 0 terus-menerus menuju angka yang lebih besar ke kanan akan sampai pada bilangan yang tidak terhingga. Tetapi, mungkin juga orang itu sampai pada titik 0 kembali. Bukankah dunia ini bulat? Mungkinkah? Bukankah Columbus mengatakan bahwa kalau ia berlayar terus-menerus ia akan sampai kembali ke Eropa?

Lain lagi. Jika seseorang berangkat dari nol, ia tidak mungkin sampai ke bilangan 4 tanpa melewati terlebih dahulu bilangan 1, 2, dan 3. Tetapi, yang lebih aneh adalah pertanyaan mungkinkan seseorang bisa berangkat dari titik nol? Jelas tidak bisa, karena bukankah titik nol sesuatu titik yang tidak ada? Aneh dan sulit dipercaya? Mari kita lihat lebih jauh.

Jika di antara dua bilangan atau antara dua buah titik terdapat sebuah ruas. Setiap bilangan mempunyai sebuah ruas. Jika ruas ini dipotong-potong kemudian titik lingkaran hitam dipindahkan ke tengah-tengah ruas, ternyata bilangan 0 tidak mempunyai ruas. Jadi, bilangan nol berada di awang-awang. Bilangan nol tidak mempunyai tempat tinggal alias tunawisma. Itulah sebabnya, mengapa bilangan nol harus menempel pada bilangan lain, misalnya, pada angka 1 membentuk bilangan 10, 100, 109, 10.403 dan sebagainya. Jadi, seseorang tidak pernah bisa berangkat dari angka nol menuju angka 4. Kita harus berangkat dari angka 1.

Mudah, tetapi salah

Guru meminta Ani menggambarkan sebuah garis geometrik dari persamaan 3x+7y = 25. Ani berpikir bahwa untuk mendapatkan garis itu diperlukan dua buah titik dari ujung ke ujung. Tetapi, setelah berhitung-hitung, ternyata cuma ada satu titik yang dilewati garis itu, yakni titik A(6, 1), untuk x=6 dan y=1. Sehingga Ani tidak bisa membuat garis itu. Sang guru mengingatkan supaya menggunakan bilangan nol. Ya, itulah jalan keluarnya. Pertama, berikan y=0 diperoleh x=(25-0)/3=8 (dibulatkan), merupakan titik pertama, B(8,0). Selanjutnya berikan x=0 diperoleh y=(25-3.0)/7=4 (dibulatkan), merupakan titik kedua C(0,4). Garis BC, adalah garis yang dicari. Namun, betapa kecewanya sang guru, karena garis itu tidak melalui titik A. Jadi, garis BC itu salah.

Ani membela diri bahwa kesalahan itu sangat kecil dan bisa diabaikan. Guru menyatakan bahwa bukan kecil besarnya kesalahan, tetapi manakah yang benar? Bukankah garis BC itu dapat dibuat melalui titik A? Kata guru, gunakan bilangan nol dengan cara yang benar. Bagaimana kita harus membantu Ani membuat garis yang benar itu? Mudah, kata konsultan Matematika. Mula-mula nilai 25 dalam 3x+7y harus diganti dengan hasil perkalian 3 dan 7 sehingga diperoleh 3x+7y=21.

Selanjutnya, dalam persamaan yang baru, berikan y=0 diperoleh x=21/3=7 (tanpa pembulatan) itulah titik pertama P(6,1). Kemudian berikan nilai x=0 diperoleh y=21/7 = 3 (tanpa pembulatan), itulah titik kedua Q(0, 3). Garis PQ adalah garis yang sejajar dengan garis yang dicari, yakni 3x+7y=25. Melalui titik A tarik garis sejajar dengan PQ diperoleh garis P1Q1. Nah, begitulah. Sang murid telah menemukan garis yang benar berkat bantuan bilangan nol.

Akan tetapi, sang guru masih sangat kecewa karena sebenarnya tidak ada satu garis pun yang benar. Bukankah dalam persamaan 3x1+7x2=25 hanya ada satu titik penyelesaian yakni titik A, yang berarti persamaan 3x1+7x2 itu hanya berbentuk sebuah titik? Bahkan pada persamaan 3x1+7x2=21 tidak ada sebuah titik pun yang berada dalam garis PQ. Oleh karena itu, garis PQ dalam sistem bilangan bulat, sebenarnya tidak ada. Aneh, bilangan nol telah menipu kita. Begitulah kenyataannya, sebuah persamaan tidak selalu berbentuk sebuah garis.

Bergerak, tetapi diam

Bilangan tidak hanya terdiri atas bilangan bulat, tetapi juga ada bilangan desimal antara lain dari 0,1; 0,01; 0,001; dan seterusnya sekuat-kuat kita bisa menyebutnya sampai sedemikian kecilnya. Karena sangat kecil tidak bisa lagi disebut atau tidak terhingga dan pada akhirnya dianggap nol saja. Tetapi, ide ini ternyata sempat membingungkan karena jika bilangan tidak terhingga kecilnya dianggap nol maka berarti nol adalah bilangan terkecil? Padahal, nol mewakili sesuatu yang tidak ada? Waw. Begitulah.

Berdasarkan konsep bilangan desimal dan kontinu, maka garis bilangan yang kita pakai ternyata tidak sesederhana itu karena antara dua bilangan selalu ada bilangan ke tiga. Jika seseorang melompat dari bilangan 1 ke bilangan 2, tetapi dengan syarat harus melompati terlebih dahulu ke bilangan desimal yang terdekat, bisakah? Berapakah bilangan desimal terdekat sebelum sampai ke bilangan 2? Bisa saja angka 1/2. Tetapi, anda tidak boleh melompati ke angka 1/2 karena masih ada bilangan yang lebih kecil, yakni 1/4. Seterusnya selalu ada bilangan yang lebih dekat... yakni 0,1 lalu ada 0,01, 0,001, ..., 0,000001. demikian seterusnya, sehingga pada akhirnya bilangan yang paling dekat dengan angka 1 adalah bilangan yang demikian kecilnya sehingga dianggap saja nol. Karena bilangan terdekat adalah nol alias tidak ada, maka Anda tidak pernah bisa melompat ke bilangan 2? Read More..

Matematika dan Bilangan Prima

(new)
Bilangan prima adalah dasar dari matematika, termasuk salah satu misteri alam semesta. Tidak pernah terbayangkan oleh manusia sebelumnya, sampai ditemukan bahwa bilangan prima juga merupakan dasar dari kehidupan alam, yang dengan usaha keras ingin dijelaskan oleh ilmu ini dalam sains. Pandangan orang umumnya mengatakan bahwa matematika hanyalah penemuan manusia biasa. Sebaliknya, beberapa pemikir masa lalu - Pythagoras, Plato, Cusanus, Kepler, Leibnitz, Newton, Euler, Gauss, termasuk para revolusioner abad ke-20, Planck, Einstein dan Sommerffeld - yakin bahwa keberadaan angka dan bentuk geometris merupakan konsep alam semesta dan konsep yang bebas (independent). Galileo sendiri beranggapan bahwa matematika adalah bahasa Tuhan ketika menulis alam semesta.

Bilangan Prima dan Rencana Penciptaan

Salah satu teka-teki lama yang belum sepenuhnya terpecahkan adalah bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... dan seterusnya. Banyak bilangan prima tidak terhingga. Tidak peduli berapa banyak kita menghitung, pasti kita akan menemukan bilangan prima, walaupun mungkin makin jarang_ Hal ini menjadi teka-teki kita, jika kita ingat bilangan ini tidak dapat dibagi oleh angka lainnya. Salah satu hal yang menakjubkan, dalam era komputer kita memberikan kodetifikasi semua hal yang penting dan rahasia, di bank, asuransi, dan perhitungan-perhitungan peluru kendali, security system dengan enkripsi, dalam angka jutaan bilangan-bilangan yang tidak habis dibagi oleh angka lainnya. Ini diperlukan karena dengan penggunaan angka lain, kodetifikasi tadi dapat dengan mudah ditembus.

Fenomena inilah yang ditemukan ilmuwan dari Duesseldorf (Dr. Plichta), sehubungan dengan penciptaan alam, yaitu distribusi misterius bilangan prima. Para ilmuwan sudah lama percaya bahwa bilangan prima adalah bahasa universal yang dapat dimengerti oleh semua makhluk (spesies) berintelegensia tinggi, sebagai komunikasi dasar antarmereka. Bahasa ini penuh misteri karena berhubungan dengan perencanaan universal kosmos.

Bilangan lain yang perlu diketahui adalah sisa dari bilangan prima, yakni bilangan komposit, kecuali angka 1, yaitu 4, 6, 8, 9,10,12,14,15, .... dan seterusnya. Dengan kata lain, bilangan komposit adalah bilangan yang terdiri dari minimal dua faktor prima. Misalnya :

6 = 2 x 3 = 2 . 3
30 = 2 x 3 x 5 = 2 . 3 . 5
85 = 5 x 17 = 5 . 17

Selain itu, dikenal pula bilangan khusus, yang disebut prima kembar, yaitu bilangan prima yang angkanya berdekatan dengan selisih 2. Misalnya :

(3,5)
(5,7)
(11,13)
(17,19)

dan seterusnya.

Mayoritas ahli astrofisika juga percaya bahwa di alam semesta terdapat "kode kosmos" atau yang disebut cosmic code based on this order, yang dikenal juga sebagai Theory of Everything (TOE), yang artinya terdapat konstanta-konstanta alam semesta yang saling berhubungan berdasarkan perintah pendesain. Sekali perintah tersebut dapat dipecahkan, maka hal ini akan membuka pandangan sains lainnya yang berhubungan. Read More..

Misteri Bilangan Lubang Hitam : 123

(new)
Dalam astronomi dan fisika, kita mengenal adanya suatu fenomena alam yang sangat menarik yaitu lubang hitam (black hole). Lubang hitam adalah suatu entitas yang memiliki medan gravitasi yang sangat kuat sehingga setiap benda yang telah jatuh di wilayah horizon peristiwa (daerah di sekitar inti lubang hitam), tidak akan bisa kabur lagi. Bahkan radiasi elektromagnetik seperti cahaya pun tidak dapat melarikan diri, akibatnya lubang hitam menjadi "tidak kelihatan".

Ternyata, dalam matematika juga ada fenomena unik yang mirip dengan fenomena lubang hitam yaitu bilangan lubang hitam. Bagaimana sebenarnya bilangan lubang hitam itu? Mari kita bermain-main sebentar dengan angka.

Coba pilih sesuka hati Anda sebuah bilangan asli (bilangan mulai dari 1 sampai tak hingga). Sebagai contoh, katakanlah 141.985. Kemudian hitunglah jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit bilangan tersebut. Dalam kasus ini, kita dapatkan 2 (dua buah digit genap), 4 (empat buah digit ganjil), dan 6 (enam adalah jumlah total digit). Lalu gunakan digit-digit ini (2, 4, dan 6) untuk membentuk bilangan berikutnya, yaitu 246.

Ulangi hitung jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit pada bilangan 246 ini. Kita dapatkan 3 (digit genap), 0 (digit ganjil), dan 3 (jumlah total digit), sehingga kita peroleh 303. Ulangi lagi hitung jumlah digit genap, ganjil, dan total digit pada bilangan 303. (Catatan: 0 adalah bilangan genap). Kita dapatkan 1, 2, 3 yang dapat dituliskan 123.

Jika kita mengulangi langkah di atas terhadap bilangan 123, kita akan dapatkan 123 lagi. Dengan demikian, bilangan 123 melalui proses ini adalah lubang hitam bagi seluruh bilangan lainnya. Semua bilangan di alam semesta akan ditarik menjadi bilangan 123 melalui proses ini, tak satu pun yang akan lolos.

Tapi benarkah semua bilangan akan menjadi 123? Sekarang mari kita coba suatu bilangan yang bernilai sangat besar, sebagai contoh katakanlah 122333444455555666666777777788888888999999999. Jumlah digit genap, ganjil, dan total adalah 20, 25, dan 45. Jadi, bilangan berikutnya adalah 202.545. Lakukan lagi iterasi (pengulangan), kita peroleh 4, 2, dan 6; jadi sekarang kita peroleh 426. Iterasi sekali lagi terhadap 426 akan menghasilkan 303 dan iterasi terakhir dari 303 akan diperoleh 123. Sampai pada titik ini, iterasi berapa kali pun terhadap 123 akan tetap diperoleh 123 lagi. Dengan demikian, 123 adalah titik absolut sang lubang hitam dalam dunia bilangan.

Namun, apakah mungkin saja ada suatu bilangan, terselip di antara rimba raya alam semesta bilangan yang jumlahnya tak terhingga ini, yang dapat lolos dari jeratan maut sang bilangan lubang hitam, sang 123 yang misterius ini? Read More..