Selasa, 21 Juni 2011

Mengangkat Kecerdasan Matematis di Usia Dini

Setiap manusia dianugerahkan Allah SWT suatu kelebihan. Sayangnya, tidak semua orang tahu dan menyadari apa kelebihannya dan bagaimana mengangkat potensi dirinya tersebut. Demikian juga dengan para pendidik, tidak semua menyadari kelebihan dari para muridnya di bidang tertentu.

Sejalan dengan itu, Howard Gardner (1933) menyatakan, intelektual seseorang yang didasarkan pada IQ mempunyai berbagai keterbatasan. Beliau lalu mengembangkan teori multiple intellegences atau kecerdasan jamak. Gardner kemudian memperkenalkan delapan kecerdasan untuk menjelaskan potensi seorang anak atau seorang dewasa. Kedelapan kecerdasan itu meliputi: linguistik, logika dan matematika, spasial, kisnestetika-raga, musik, ienterpersonal, intrapersonal, dan naturalis.

Meski kaum pendidik tahu kedelapan kecerdasan di atas, implementasinya dalam pembelajaran di sekolah terlalu memfokuskan pada kecerdasan tertentu saja, yakni linguistik dan matematika. Pada kenyataannya, banyak orang menghargai bakat seni atau olahraga.

Apa implikasinya? Mestinya sekolah dan masyarakat memberikan perhatian yang sama pada kecerdasan yang dimiliki oleh artis/seniman, olahragawan, penjelajah alam, arsitek, peneliti, penari, wirausahawan, dan yang lainnya, yang berperan serta berkarya untuk mengisi keragaman kehidupan.

Permasalahannya, anak-anak yang berbakat dalam bidang selain linguistik dan logika-matematika kurang mendapat pelayanan yang setara. Banyak anak dari kelompok ini dianggap kurang mampu dan mendapat label 'lambat belajar' atau 'kurang belajar' (underachiever) ketika mereka menampakkan pola pikir berbeda atau tidak mengikuti pelajaran yang terlalu sarat dengan pengembangan kecerdasan linguistik dan logika-matematika.

Lalu apa implikasi teori kecerdasan jamak dalam pembelajaran? Tentu saja, para guru harus mampu menyajikan pembelajaran dengan menggunakan pengembangan musik, olahraga, belajar bekerja sama, karyawisata, dan refleksi diri dengan mengaitkan pada kedelapan kecerdasan.

Gardner (1983) melukiskan matematis seperti berikut: keterampilan memberi alasan kuat dan logis, anak mampu menemukan hubungan gagasan yang satu dengan yang lain, pengetahuan yang satu dengan yang lain, dan mampu berpikir secara induktif dan deduktif. Terampil menyingkapkan adanya pola kerja atau pola hubungan antara informasi yang satu dengan yang lain atau serangkaian data, mampu memanipulasi pola abstrak.

Anak yang berkembang nalar matematisnya konon suka bertanya, bagaimana cara kerja suatu benda, ingin memecahkan masalah sehari-hari dengan konsep matematis yang sudah dikuasainya. Ia gemar membuat klasifikasi atau penggolongan. Berikut ini hanya disajikan tips untuk memicu kecerdasan matematis yang disarikan Priyono (2006).

Pada anak usia 4-5 tahun cobalah lakukan aktivitas berikut. Pertama, beri buku dan dorong aktivitas yang mengajak anak untuk menggolongkan dan mengelompokkan. Misalnya, menggolongkan menurut jumlah benda, rangkaian pola warna, pola bentuk selain mengurutkan bilangan. Urutan bilangan tidak perlu mencapai puluhan atau bahkan ratusan.

Kedua, mendorong kembali perkembangan keterampilan menghitung dengan buku hitung dan aktivitas menghitung. Perlu latihan lebih banyak pada penguasaan cacah, lebih banyak, lebih sedikit daripada dipacu untuk berlatih menjumlah. Dorong kembali identifikasi warna melalui penggunaan konsep warna yang benar dan menghitung lainnya.

Ketiga, menyediakan peluang bagi anak untuk mengidentifikasi dan berdiskusi tentang perbedaan antarkonsep tentang waktu, posisi, bidang, dan kuantitas. Keempat, memberi buku tentang langkah maju dari kecil ke besar. Sebaiknya anak menceritakan kembali dengan menggunakan papan flannel berukuran besar, gambar yang diceritakan berukuran sedang. Memberi buku untuk menolong mereka mengerti urutan waktu.

Untuk anak usia 6 sampai 8 tahun, dapat dicobakan: (1) memberi buku yang mudah untuk dibaca akan menjadi pemicu untuk mengembangkan kemampuan membaca; (2) mengajak anak untuk menulis, memberi ilustrasi, dan membuat buku gambar sendiri; (3) mereka menikmati mendengarkan cerita yang lebih panjang jika bab-bab cerita dilengkapi dengan subjusl-subjudul; (4) menyediakan pengalaman yang mendorong mereka untuk melihat, berdiskusi, dan membuktikan informasi dan keterkaitannya; dan (5) anak berkembang pada tahap kemampuan mengelompokkan, namun mereka belum mampu melihat semua benda dapat dikelompokkan, hanya paham kaitan antara pengertian.

Tips untuk anak usia 8-10 tahun dapat dilakukan kegiatan berikut. (1) Sediakan buku dari tahap membaca yang terpilih. Bimbing mereka untuk punya peluang berbagi pengalaman melalui buku, teman seusia, orang tua, guru, dan orang dewasa lainnya. (2) Anak membutuhkan setiap hari ketika mereka mampu mendengar aneka buku yang dibaca dengan suara lantang. (3) Menolong anak merangkai tujuan untuk mendengarkan bacaan.

Lalu bagaimana dengan anak usia 10-12 tahun? Untuk mereka, bisa dilakukan upaya berikut. Pertama, berikan fiksi sejarah dan buku yang menampilkan perubahan-perubahan bersejarah menolong mereka memahami perbedaan sudut pandang dan perspektif historis. Kedua, gunakan pertanyaan dan strategi diskusi untuk merancang perkembangan tahap berpikir tingkat tinggi melalui proses. Anak pun mulai tertarik pada buku yang lebih rumit. Nah, selamat mencoba! (Penulis adalah Guru Matematika SMAN 13 Bandung)**

Oleh: DEDI SUTANSYAH, S.Pd.
Read More..

Keseimbangan Matematika dalam Alquran (new)


''Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya malam dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang-orang yang berakal.'' (QS Ali Imran: 190).''Dia-lah yang menjadikan matahari bersinar dan bulan bercahaya dan ditetapkan-Nya manzilah-manzilah (tempat-tempat) bagi perjalanan bulan itu, supaya kamu mengetahui bilangan tahun dan perhitungan (waktu).'' (QS Yunus: 5).

''Dan tiada Kami jadikan penjaga neraka itu melainkan dari malaikat: dan tidaklah Kami menjadikan bilangan mereka itu melainkan untuk jadi cobaan bagi orang-orang kafir, supaya orang-orang yang diberi Al-Kitab menjadi yakin dan supaya orang yang beriman bertambah imannya dan supaya orang-orang yang diberi Al-Kitab dan orang-orang Mukmin itu tidak ragu-ragu dan supaya orang-orang yang di dalam hatinya ada penyakit dan orang-orang kafir (mengatakan): 'Apakah yang dikehendaki Allah dengan bilangan ini sebagai suatu perumpamaan?

' Demikianlah Allah membiarkan sesat orang-orang yang dikehendaki-Nya dan memberi petunjuk kepada siapa yang dikehendaki-Nya. Dan tidak ada yang mengetahui tentara Tuhanmu melainkan Dia sendiri. Dan Saqar itu tiada lain hanyalah peringatan bagi manusia.'' (QS Muddatstsir: 31). ''Katakanlah: 'Sesungguhnya jika manusia dan jin berkumpul untuk membuat yang serupa Alquran ini, niscaya mereka tidak akan dapat membuat yang serupa dengan dia, sekalipun sebagian mereka menjadi pembantu bagi sebagian yang lain'." (QS Al-Israa: 88).

Ayat-ayat di atas merupakan beberapa contoh yang disebutkan Allah dalam Alquran mengenai keberadaan angka-angka (bilangan). Tujuannya agar manusia itu menggunakan akalnya untuk berpikir dan meyakini apa yang telah diturunkan, yakni Alquran. Allah menciptakan alam semesta ini dengan perhitungan yang matang dan teliti. Ketelitian Allah itu pasti benar. Dan, Dia tidak menciptakan alam ini dengan main-main. Semuanya dibuat secara terencana dan perhitungan.

Abah Salma Alif Sampayya, penulis buku Keseimbangan Matematika dalam Alquran , menyatakan, bilangan adalah roh dari matematika dan matematika merupakan bahasa murni ilmu pengetahuan ( lingua pura ). Setiap bilangan memiliki nilai yang disebut dengan angka. Peranan matematika dalam kehidupan pernah dilontarkan oleh seorang filsuf, ahli matematika, dan pemimpin spiritual Yunani, Phitagoras (569-500 SM), 10 abad sebelum kelahiran Rasulullah SAW. Phitagoras mengatakan, angka-angka mengatur segalanya.

Kemudian, 10 abad setelah kelahiran Rasulullah SAW, Galileo Galilea (1564-1642 M), mengatakan: Mathematics is the language in which God wrote the universe (Matematika adalah bahasa yang digunakan Tuhan dalam menulis alam semesta).Hal ini menunjukkan bahwa mereka mempercayai kekuatan angka-angka (bilangan) di dalam kehidupan. Senada dengan pendapat Galileo, Carl Sagan, seorang fisikawan dan penulis novel fiksi ilmiah, mengatakan, matematika sebagai bahasa yang universal.

Dalam Alquran disebutkan sejumlah angka-angka. Di antaranya, angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 20, 30, 40, 80, 100, 200, 1000, 2000, 10 ribu, hingga 100 ribu. Penyebutan angka-angka ini, bukan asal disebutkan, tetapi memiliki makna yang sangat dalam, jelas, dan dapat dipertanggungjawabkan secara ilmiah. Misalnya, ketika ada yang bertanya mengenai jumlah penjaga neraka Saqar, dalam surah al-Muddatstsir ayat 31 disebutkan sebanyak 19 orang. Allah menciptakan langit dan bumi selama enam masa. Tuhan adalah satu (Esa), bumi dan langit diciptakan sebanyak tujuh lapis, dan lain sebagainya.

Penyebutan angka-angka ini, menunjukkan perhatian Alquran terhadap bidang ilmu pengetahuan, khususnya matematika. Yang sangat menakjubkan, beberapa angka-angka yang disebutkan itu memiliki keterkaitan antara yang satu dan lainnya. Bahkan, di antaranya tak terpisahkan. Begitu juga, ketika banyak ulama dan ahli tafsir berdebat mengenai jumlah ayat yang ada didalam Alquran. Sebagian di antaranya menyebutkan sebanyak 6.666 ayat, 6.234 ayat, 6.000 ayat, dan lain sebagainya. Perbedaan ini disebabkan adanya metode dalam perumusan menentukan sebuah ayat.

Bismillahirrahmanirrahim yang diletakkan sebagai kalimat pembuka dari keseluruhan ayat dan surah di dalam Alquran, memiliki susunan angka yang sangat menakjubkan. Kalimat basmalah itu bila dihitung hurufnya mulai dari ba hingga mim, berjumlah 19 huruf. Angka 19 ini, ternyata menjadi 'kunci utama' dalam bilangan jumlah surah, jumlah ayat, dan lainnya di dalam Alquran.

Begitu juga dengan angka tujuh, bukanlah sekadar menyebutkan angkanya, tetapi memiliki perhitungan dan komposisi yang sangat tepat. Misalnya, jumlah ayat dalam surah Al-Fatihah sebanyak tujuh ayat dan jumlah surah-surah terpanjang dalam Alquran (lebih dari 100 ayat) berjumlah tujuh surah.

Penyebutan angka-angka itu bukanlah secara kebetulan atau asal bunyi (asbun). Semuanya sudah ditetapkan oleh Allah dengan komposisi yang jelas dan akurat. Tidak ada kesalahan sedikit pun. ''Kitab (Alquran) ini tak ada keraguan di dalamnya dan ia menjadi petunjuk bagi orang-orang yang bertakwa.'' (QS Al-Baqarah: 2).

''Dan jika kamu (tetap) dalam keraguan tentang Alquran yang Kami wahyukan kepada hamba Kami (Muhammad), buatlah satu surat (saja) yang semisal Alquran itu dan ajaklah penolong-penolongmu selain Allah, jika kamu orang-orang yang benar.'' (QS Al-Baqarah: 23). ''(Alquran) ini adalah penjelasan yang sempurna bagi manusia, dan supaya mereka diberi peringatan dengan-Nya, dan supaya mereka mengetahui bahwasanya Dia adalah Tuhan Yang Maha Esa dan agar orang-orang yang berakal mengambil pelajaran.'' (QS Ibrahim: 52).

Karena itulah, Stephen Hawking, seorang ilmuwan dan ahli matematika terkenal, yang pada awalnya tidak membutuhkan hipotesis Tuhan dalam mempelajari alam semesta, meyakini adanya unsur matematika yang mengagumkan yang melekat di dalam struktur kosmos (alam semesta). Hawking mengatakan, ''Tuhanlah yang berbicara dengan bahasa itu.''

Hal yang sama juga diungkapkan Albert Einstein, fisikawan terkenal dan penemu bom atom. ''Tuhan tidak sedang bermain dadu,'' ungkap Einstein. Semua berdasarkan perhitungan, ukuran, dan perencanaan yang matang, bahkan ketika dentuman besar ( big bang ) pertama, di mana Allah dengan kata Kun Fayakun -nya, menciptakan alam semesta dalam hitungan t=0 hingga detik 10 pangkat minus 43 detik.

Stephen Hawking mengatakan, ''Seandainya pada saat dentuman besar terjadi kurang atau lebih cepat seperjuta-juta detik saja, alam semesta tidak akan seperti (sekarang) ini.''Itulah rahasia Allah. Semua yang disebutkan-Nya di dalam Alquran, menjadi tanda dan petunjuk bagi umat manusia, agar mereka beriman dan meyakini kebenaran pada kitab yang diturunkan-Nya kepada Nabi Muhammad SAW. Wa Allahu A'lam.

Sejarah Angka di Dunia

Hampir tak ada negara di dunia yang tak mengenal angka (bilangan). Semuanya mengenal angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. Angka-angka itu menjadi roh dalam ilmu matematika. Sulit dibayangkan, andai tak ditemukan angka-angka tersebut.

Dalam berbagai literatur yang ada, tak disebutkan siapa orang yang pertama kali menemukan angka-angka atau bilangan tersebut. Yang pasti, menurut Abah Salma Alif Sampayya, dalam bukunya Keseimbangan Matematika dalam Alquran , catatan angka pertama kali ditemukan pada selembar tanah liat yang dibuat suku Sumeria yang tinggal di daerah Mesopotamia sekitar tahun 3.000 SM.

Bangsa Mesir kuno menulis angka pada daun lontar dengan tulisan hieroglif yang dilambangkan dengan garis lurus untuk satuan, lengkungan ke atas untuk puluhan, lengkungan setengah lingkaran menyamping (seperti obat nyamuk) untuk ratusan, dan untuk jutaan dilambangkan dengan simbol seorang laki-laki yang menaikkan tangan. Sistem ini kemudian dikembangkan oleh bangsa Mesir menjadi sistem hieratik.

Bangsa Roma menggunakan tujuh tanda untuk mewakili angka, yaitu I, V, X, L, C, D, dan M, yang dikenal dengan angka Romawi. Angka ini digunakan di seluruh Eropa hingga abad pertengahan.Sementara itu, angka modern saat ini, berasal dari simbol yang digunakan oleh para ahli matematika Hindu India sekitar tahun 200 SM, yang kemudian dikembangkan oleh orang Arab. Sehingga, angka tersebut disebut dengan angka Arab.

Dibandingkan dari seluruh angka yang ada (1-9), angka 0 (nol) merupakan angka yang paling terakhir kemunculannya. Bahkan, angka nol pernah ditolak keberadaannya oleh kalangan gereja Kristen. Orang yang paling berjasa memperkenalkan angka nol di dunia ini adalah al-Khawarizmi, seorang ilmuwan Muslim terkenal. Dia memperkenalkan angka nol melalui karyanya yang monumental Al-Jabr wa al-Muqbala atau yang lebih dikenal dengan nama Aljabar . Angka nol ini kemudian dibawa ke Eropa oleh Leonardo Fibonacci dalam karyanya Liber Abaci , dan semakin dikenal luas pada zaman Renaisance dengan tokoh-tokohnya, antara lain, Leonardo da Vinci dan Rene Descartes.

Pada mulanya, angka nol digambarkan sebagai ruang kosong tanpa bentuk yang di India disebut dengan sunya (kosong, hampa).Hingga kini, angka nol memiliki makna yang sangat khas dan memudahkan seseorang dalam berhitung. Namun, ada kalanya keberadaan angka nol ini dapat menimbulkan kekacauan logika.

''Jika suatu bilangan dibagi dengan nol, hasilnya tidak dapat didefinisikan. Bahkan, komputer sekalipun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan pembagi angka nol,'' jelas Sampayya.Komputer diperintahkan berhenti berpikir bila bertemu dengan sang divisor nol. Hasil yang tertera pada komputer angka menunjukkan #DIV/0!.

Meyakini Kebenaran Alquran

Keistimewaan dan keajaiban angka-angka yang ada dalam Alquran, sebagaimana dijelaskan di atas, merupakan bukti keteraturan dan keseimbangan yang dilakukan oleh Sang Pencipta dalam menyusun dan membuat Alquran serta alam semesta. Tak mungkin manusia mampu melakukan keseimbangan dan keteraturan yang demikian sempurna itu dalam sebuah hasil karyanya, selain Allah SWT.

Dalam surah Al-Baqarah ayat 2-3, Allah menjelaskan tujuan dari diturunkannya Alquran, yakni menjadi petunjuk bagi umat manusia untuk membedakan antara yang hak (benar) dan yang batil (salah). Sebab, tidak ada yang perlu diragukan lagi semua keterangan Alquran. Karena itulah, seluruh umat Islam di dunia ini, wajib untuk meyakini dan mempercayai kebenaran Alquran.

Penyebutan angka-angka dan keteraturan yang terdapat di dalamnya, merupakan bukti keistimewaan dan kemukjizatan Alquran. Keseimbangan dan keteraturan sistem numerik (bilangan) dalam Alquran dengan penciptaan alam semesta, menggambarkan hanya Allah SWT sebagai Tuhan yang satu.

''Dan tidaklah Kami menjadikan bilangan mereka itu melainkan untuk jadi cobaan bagi orang kafir, supaya orang-orang yang diberi Al-Kitab menjadi yakin dan supaya orang yang beriman bertambah imannya, dan supaya orang-orang yang diberi Al-Kitab dan orang Mukmin itu tidak ragu-ragu.'' (QS Al-Muddatstsir: 31). Wa Allahu A'lam.(rpb)
Read More..

SBY 'Ngajar' Matematika di SMP Negeri 2 Labuan








Read More..

Fibonacci (1170 – 1250)

“Kekuatan terbesar dalam perhitungan modern terdapat pada tiga penemuan: notasi [bilangan] Arab, bilangan berbasis sepuluh dan logaritma”
(The miracuolus powers of modern calculation are due to three inventions:the Arabic Notation, Decimal Fractions, and Logarithms)
Florian Cajori

Pedagang merangkap matematikawan

Riwayat
Signifikansi perkembangan matematika pada abad pertengahan di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian. Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan. Fibonacci menulis buku Liber Abaci setelah terinspirasi pada kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair. Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab memperlihatkan keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal setelah jaman Perang Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan menggunakan notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan oleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang sangat mengebu-gebu membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia.

Mengarang buku
Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan menggunakan – apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan menggunakan numeral Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul dunia baru dengan angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi.
Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana menentukan jumlah digit dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, pecahan, akar, bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat. Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan pembacanya. Dasar pedagang, ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga disajikan. Termasuk di sini adalah pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang marjin keuntungan, perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi), bahkan menyertakan penghitungan bunga. (Pada jaman itu riba, masih dilarang). Penguasa pada saat itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem aljabar dan persamaan kuadrat.

Problem kelinci
Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum problem yang mampu mengusik “akal sehat” matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir.

“Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua”

- Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.
- Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci.
- Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.
- Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.
Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja): 354.224.848.179.261.915.075.
Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci.

Deret Fibonacci
Orang Kristen menolak angka nol; namun pedagang dalam melakukan transaksi membutuhkan angka nol. Alasan yang dipakai oleh Fibonacci adalah nol sebagai batas. Apabila diperoleh hasil negatif berarti kerugian. Orang yang mengenalkan angka nol ini ke dunia Barat adalah Leonardo dari Pisa. Meskipun ayahnya seorang Konsul sekaligus pedagang, profesi Fibonacci – tidak mau menjadi konsul, adalah seorang pedagang. Anak muda – yang lebih dikenal dengan nama Fibonacci – belajar matematika dari orang-orang Islam dan menjadi matematikawan piawai dengan cara belajar sendiri. Menemukan deret bilangan yang diberi nama seperti namanya.
Deret Fibbonacci yaitu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 …
Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Angka 3, urutan keempat, adalah hasil penjumlahan 1 (urutan 2) + 2 (urutan 3); angka 5 urutan kelima, adalah hasil penjumlahan 2 (urutan 3) + 3 (urutan 4); angka 8 urutan keenam, adalah hasil penjumlahan 3 (urutan 4) + 5 (urutan 5) dan seterusnya. Deret di atas mampu menjawab problem kelinci beranak-pinak, alur bunga lily, pola dan jumlah mata nanas, jumlah kelopak dan alur spiral bunga jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini dapat diketahui diketahui urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran ruangan binatang berkulit lunak (moluska) yang berbentuk spiral, nautilus *; jumlah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam ‘mata‘ nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur spiral (ke kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.


Kaitan dengan nisbah emas

Nisbah emas sudak dikenal sejak jaman Pythagoras. Disebutkan bahwa alam tampaknya diatur oleh nisbah emas. “Kesaktian” nisbah ini mendasari arsitektur bangunan jaman dahulu, khususnya di Yunani. Bentangan pilar dan tinggi Panthenon merupakan perbandingan hasil nisbah emas.
Perhatikan hasil pembagian bilangan-bilangan pada deret Fibonacci di bawah ini.

1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; 144/89…

Pola apa yang terjadi? Bilangan hasil pembagian menunjukkan sesuatu yang istimewa sehingga disebut dengan seksi emas (golden section). Nama ini mirip dengan nisbah emas. Memang ada hubungan erat antara seksi emas dan nisbah emas seperti dapat dilihat pada tabel dan gambar di bawah ini.


Deret 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Pembagi 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
Hasil 1 2 1,5 1,66 1,6 1,625 1,615 1,619 1,617 1,618 1,618



Barangkali kenyataan ini mampu menjawab pertanyaan mengapa deret Fibonacci mendekati nisbah emas.



Ambil contoh dua bilangan: a, b, a+b (deret Fibonacci) dan b/a (nisbah emas) kemudian diperbandingkan

b/a ≈ (a+b)/b
b/a (nisbah emas) ≈ a/b + 1 (seksi emas)

Substitusikan nisbah emas dengan notasi Φ (phi) untuk persamaan di atas.

Φ = 1/Φ + 1 (kalikan ruas kiri dan kanan dengan F) hasil:
Φ² - Φ – 1 = 0

Φ = (1+ √5)/2 ≈ 1,618

Revolusi Fibonacci
Topik dalam buku Liber abaci juga menjelaskan proses aritmatik, termasuk cara mencari akar bilangan. Problem-problem dalam buku ini lebih ditekankan untuk penggunaan dalam transaksi perdagangan, sistem pecahan untuk menghitung pertukaran mata uang. Fibonacci menggunakan pecahan – biasa, bilangan berbasis enam puluh (seksadesimal) dan satuan – bukan bilangan berbasis sepuluh (desimal). Penulisan 5/12 28 biasa kita kenal sebagai 28 5/12. Dia juga menempatkan bilangan pecahan berupa komponen-kompenen yang belum dijumlah. Penulisan 115/6, sebagai contoh, ditulis dengan 1/3 ½ 11. Tidak puas dengan kebingungan ini pecahan satuan ternyata lebih membingungkan. Pecahan 98/100, sebagai contoh, dipecah menjadi 1/100 1/50 1/5 ¼ ½, dan 99/100 ditulis dengan 1/25 1/5 ¼ ½.
Masih belum jelas, terlebih notasi:

1 6 2
2 9 10
yang berarti:

1 + 6 + 2
2.9.10 9.10 10

Barangkali sangatlah mengherankan, pedagang jaman kuno sudah mampu mengoperasikan sistem bilangan sebegitu rumitnya. Penulisan pecahan di atas diadopsi dari sistem bilangan Byzantium.

* Jangan salah mengartikan dengan Nautilus yang menjadi nama kapal selam pada buku karangan Jules Verne “20.000 Leagues Under the Sea”


Sumbangsih
Mengenalkan angka nol dan menghitung pola-pola alam tidak lazim sekaligus memberi dasar pada pengenalan aljabar ke dunia Barat adalah sumbangsih terbesar Fibonacci. Mampu menciptakan deret Fibonacci yang memberi jawaban atau alasan tentang pola alam seperti yang dijabarkan dalam nisbah emas. Adopsi angka nol untuk penulisan dan melakukan perhitungan di Eropa – mengubah sistem bilangan Romawi yang tidak efisien – dengan sistem bilangan Hindu-Arabik ini kelak sangat mempengaruhi perkembangan matematika di benua Eropa. Sistim bilangan pecahan Fibonacci yang rumit, kemudian disederhanakan untuk kepentingan perdagangan. Perhatikanlah perubahan harga saham-saham yang diperdagangkan di Wall Street menggunakan sistem pecahan.
Read More..

Omar Khayyam (1050 – 1123)

Pengantar
Matematika Arab dapat dibagi ke dalam 4 kategori:
1. Aritmatika yang dianggap merupakan turunan dari India dan didasarkan pada prinsip posisi.
2. Aljabar, meskipun berasal dari Yunani, Hindu dan sumber-sumber lain di Babylonia, akan tetapi di tangan para pakar Muslim diubah menjadi mempunyai karakteristik baru dan lebih sistimatis.
3. Trigonometri, dengan ramuan utama dari Yunani, tetapi oleh bangsa Arab dan ditangani menurut cara Hindu, menjadi mempunyai lebih banyak fungsi-fungsi dan rumus-rumus. Kategori ini menjadi dikenal karena peran ibn-Yunus (meninggal tahun 1008) dan Alhazen, keduanya dari Mesir, mengenalkan rumus 2cos x cos y = cos (x + y) + cos (x - y). Salah satu rumus penjumlahan ini yang sangat besar pengaruhnya bagi perkembangan matematika pada umumnya dan trigonometri pada khususnya pada abad 16, sebelum ditemukan logaritma.
4. Geometri yang juga berasal dari Yunani tetapi di tangan bangsa Arab digeneralisasi di sana-sini sampai mengkristal seperti bentuknya sekarang ini. Kategori ini, setelah era Alhazen, dikembangkan ilmuwan Timur tapi oleh orang Barat lebih dikenal sebagai penyair, yaitu Omar Khayyam.

Kiprah Omar Khayyam
Omar Khayyam meneruskan tradisi aljabar al-Khwarizmi dengan memberikan persamaan sampai pangkat tiga. Seperti pendahulunya, Omar Khayyam melengkapi dengan persamaan kuadrat baik untuk solusi aritmatika maupun solusi geometri. Untuk persamaan-persamaan umum pangkat tiga dipercayainya bahwa solusi untuk aritmatika adalah tidak mungkin (kelak pada abad lima belas dibuktikan bahwa pernyataan ini salah), sehingga dia hanya memberi solusi geometri. Gambar kerucut yang dipotong untuk menyelesaikan persamaan pangkat dua sudah pernah dipakai oleh Menaechmus, Archimedes dan Alhazen, namun Omar Khayyam mengambil cara lebih elegan dengan melakukan generalisasi metode guna mencakup persamaan-persamaan pangkat tiga dengan hasil berupa akar bilangan positif. Untuk persamaan dengan pangkat lebih dari tiga, Omar Khayyam tidak dapat memberi gambaran dengan menggunakan metode geometri yang sama. Dianggap bahwa tidak ada dimensi lebih dari tiga, “Apa yang disebut dengan kuadrat dikuadratkan oleh para ahli aljabar, memberi daya tarik dari sisi teoritis.”
Untuk lebih memudahkan uraian diberikan contoh persamaan: x³ + ax² + b²x + c³ = 0, kemudian, dengan teknik substitusi, mengganti, x² = 2py akan diperoleh 2pxy + 2apy + b²x + c³ = 0. Hasilnya dari persamaan ini adalah hiperbola dan variabel untuk melakukan substitusi, x² = 2py, adalah parabola. Tampak jelas di sini bahwa hiperbola digambar bersama-sama dengan parabola pada (sistem) ordinat yang sama, sedangkan absis merupakan titik-titik perpotongan parabola dan hiperbola, adalah hasil akar persamaan kuadrat. Dia belum menjelaskan tentang koefisien negatif. Niatnya memecahkan problem berdasarkan parameter a, b, c adalah bilangan positif, negatif atau nol. Tidak semua akar dari persamaan kuadrat diketahui, karena dia tidak mengetahui akar bilangan negatif.

Karya lain, Al-Rubaiyat
Meskipun Omar Khayyam juga menulis cara menemukan persamaan pangkat empat, lima, enam atau pangkat lebih tinggi dari binomial tapi karyanya itu tidak banyak dikenal orang. Penyair sekaligus matematikawan. Kombinasi aneh. Karya-karya Omar Khayyam di bidang puisi justru lebih menonjol. Puisi dirangkum dalam Al-Rubaiyat *). Berisi 75 puisi pendek karena maksimum hanya terdiri dari berisi 4 baris (quatrain).

* Ada terjemahan dalam bahasa Inggris oleh Edward Fitzgerald (1856) dengan judul The Rubaiyat of Omar Khayyam, Wordworth Classics, London, 1993.


Sumbangsih
Omar Khayyam menutup “jurang” antara ekspresi angka/bilangan dengan aljabar geometrikal, sebelum dikembangkan kemudian oleh Descartes, seperti diungkapkan lewat ucapannya, “Siapapun yang berpikir bahwa aljabar bertujuan untuk mencari bilangan tidak diketahui adalah sebuah tindakan sia-sia. Aljabar dan geometri memang beda tampilan namun sama-sama berdasarkan fakta yang telah terbukti.” Meskipun belum dapat membuat rumus (baku) untuk mencari hasil dari suatu persamaan dua (kuadrat), tiga dan pangkat lebih tinggi, tapi prestasi ini mampu menjadi batu loncatan bagi perkembangan matematika berikutnya terutama Lagrange.
Read More..

Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi (780 – 850)

“Setiap bentuk penemuan baru adalah suatu bentuk matematika, oleh karena tidak ada pedoman yang kita miliki”
(Every new body of discovery is mathematical in form, because there is no other guidance we can have)
C. G. Darwin

Riwayat
Di bawah pemerintahan tiga raja dinasti Abbasid – al Mansur, Harun al-Rashid dan al-Mamun, terjadi masa keemasan Irak. Istilah Arabian Nights tercetus pada masa Harun al-Rashid. Bahkan al-Mamun bermimpi dapat menghadirkan kembali pemikir kaliber Aristoteles di Bagdad.
Seperti yang sudah disebutkan pada pengantar, ada dua ilmuwan yang “bertugas” mengalihbahasakan karya-karya ilmiah di Graha Kebijaksanaan (The House of Wisdom), di mana salah satunya adalah al-Khwarizmi. Buku karyanya mampu yang mencetuskan kata aljabar dan membuatnya menjadi ilmu yang legendaris. Riwayat al-Khwarizmi tidaklah terlalu jelas diketahui orang. Tidak banyak catatan dan asal-usulnya yang diketahui oleh orang kebanyakan, tak terkecuali ahli sejarah.
Nama al-Khwarizmi memberi indikasi bahwa dia berasal dari Khwarizm, sebelah selatan laut Aral, Asia tengah. Ahli sejarah, al-Tabari memberi tambahan julukan “al-Qutrubbulli”, yang memberi indikasi bahwa al-Khwarizmi berasal dari Qutrubbull, yaitu daerah antara sungai Tigris dan sungai Eufrat yang letaknya tidak jauh dari Bagdad.

Karya besar al-Khwarizmi
Sudah dapat dipastikan bahwa Al-Khwarizmi bekerja pada saat berkuasanya al-Mamun dan dia mempersembahkan dua karyanya untuk Kalifah tersebut. Karya besar di bidang aljabar dan karya besar di bidang astronomi. Hisab al-jabr w’al-muqabala adalah karyanya di bidang aljabar yang sangat terkenal dan sangat penting. Judul karya itu menunjuk kata “aljabar” adalah istilah pertama yang kemudian akan dipakai sampai sekarang. Tujuan dan pesan yang ingin disampaikan oleh buku ini, seperti yang disebutkan dalam buku terjemahan Rosen, adalah mencari cara termudah dan paling bermanfaat dari aritmatika.

“Setiap hari orang berkutat dengan kasus-kasus yang menyangkut warisan, pembagian harta, kasus-kasus hukum, perdagangan, dan semua perjanjian yang terjadi antara pribadi misal: mengukur lahan, menggali sungai, menghitung luas bidang geometri tertentu dan bermacam-macam perhitungan lainnya.”

Kita semua jadi maklum bahwa isi teks aljabar ini dimaksudkan untuk kepentingan praktis dan aljabar diperkenalkan untuk menyelesaikan problem-problem yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari dalam lingkup kerajaan Islam pada jaman itu. Pengantar buku ini memberi gambaran tentang bilangan-bilangan asli (natural number), dimana bagi mereka yang tidak fasih dengan sistem ini tampak menggelikan, namun inti penting yang ingin disampaikan adalah pemahaman baru tentang abstraksi seperti dinyatakan dalam kalimat di bawah ini.

Ketika orang mulai melakukan penghitungan mereka selalu menggunakan angka. Angka terdiri dari satuan-satuan, dan setiap angka dapat dibagi menjadi satuan-satuan. Setiap angka diekspresikan dengan satu sampai sepuluh, setelah sepuluh digandakan, dikalikan tiga sehingga terdapat dua puluh, tiga puluh dan seterusnya hingga seratus. Seratus digandakan, dikalikan tiga dengan cara yang sama sampai akhirnya sampai pada kesimpulan bahwa bilangan itu tak terbatas.

Aksioma
Karya Aljabar dari al-Khwarizmi diawali dengan pengertian prinsip-prinsip bilangan dan memberikan solusi. Terdiri dari enam bab yang terbagi menjadi enam tipe persamaan yang mencakup tiga jenis operasi: akar, kudrat dan bilangan (x, x² dan bilangan).
Semua solusi atau penyelesaian [penyederhanaan] suatu bentuk persamaan (linier atau kuadrat), terlebih dahulu harus dijadikan salah satu dari 6 bentuk baku seperti di bawah ini.

1. Kuadrat-kuadrat identik dengan akar-akar
2. Kuadrat-kuadrat identik dengan bilangan-bilangan
3. Akar-akar identik dengan bilangan-bilangan
4. Kuadrat-kuadrat dan akar-akan identik dengan bilangan-bilangan (misal: x² + 10x = 39)
5. Kuadrat-kuadrat dan bilangan-bilangan identik dengan akar-akar (misal: x² + 21 = 10x)
6. Akar-akar dan bilangan-bilangan identik dengan kuadrat-kuadrat (misal: 3x + 4 = x²).

Penyederhaan ini menggunakan dua operasi/cara yang disebut dengan al-jabr dan al-muqabala. Istilah “al-jabr” berarti “menyelesaikan” yaitu proses menghilangkan bentuk negatif/minus dari suatu persamaan. Salah satu contoh yang dikemukakan oleh al-Khwarizmi, “al-jabr” mengubah x² = 40x – 4x² menjadi 5x² = 40x. Istilah “al-muqabala” berarti “menyeimbangkan” yaitu proses mengelompokkan jenis/notasi yang sama, pangkat yang sama apabila terdapat pada ruas kanan maupun ruas kiri dalam suatu persamaan. Contoh, dua aplikasi al-muqabala adalah menyederhanakan 50 + 3x + x² = 29 + 10 x menjadi 21 + x² = 7x (aplikasi pertama terkait dengan bilangan-bilangan dan aplikasi kedua terkait dengan akar)


Aplikasi aksioma
Al-Khwarizmi juga menunjukkan bagaimana menggunakan keenam persamaan di atas untuk menggabungkan solusi methode aljabar dan methode geometri. Sebagai contoh untuk memecahkan persamaan x² + 10x = 39, dia menuliskan prosedur:

… Suatu akar kuadrat ditambah 10 sama dengan 39 unit, yang dapat dijabarkan ke dalam bentuk persamaan: apa yang akan terjadi apabila suatu kuadrat ditambah 10 akan diperoleh 39?. Cara untuk mengurai persamaan ini digambil dari salah satu aksioma di atas. Sumber problem adalah angka 10. Ambil angka 5, dan kuadratkan diperoleh 25, ditambah dengan 39 diperoleh 64. Akar dari angka ini adalah 8, kurangilah dengan angka awal, 5, diperoleh sisa 3. Angka 3 adalah hasil akar, jika dikuadratkan diperoleh 9. Luas bujur sangkar adalah 9.

Pembuktian geometrik dapat dilakukan dengan cara di bawah ini. Al-Khwarizmi mulai dengan mengandaikan sisi bujur sangkar adalah x dan luas bujur sangkar adalah x² (gambar 1). Bujur sangkar itu kita tambah dengan 10x yang dilakukan dengan menambahkan secara sama terhadap keempat sisinya, dimana masing-masing 10/4 atau 5/2 dengan lebar x pada setiap sisinya (gambar 2). Bidang diarsir (Gambar 3) mempunyai luas x² + 10x, dimana sama dengan 39. Kita melengkapi agar bentuk bujur sangkar menjadi lengkap dengan 4 bujur sangkar kecil yang luasnya sama, masing-masing 5/2 × 5/2 = 25/4. Luas bujur sangkar (gambar 3) adalah 4 × 25/4 + 39 = 25 + 39 = 64. Panjang sisi bujur sangkar adalah akar 64 atau sama dengan 8. Apabila sisi bujur sangar adalah 8, dimana 5/2 + x + 5/2 atau x + 5 = 8, diperoleh x = 3.
Kaitan dengan Euclid?
Pembuktian geometrik di atas menjadi sumber polemik diantara para matematikawan. Tampaknya al-Khwarizmi memahami Element dari Euclid, karena secara tidak langsung penyelesaian itu mirip dengan yang termaktub dalam karya Euclid. Dalam masa pemerintahan Harun al-Rashid, ketika Khwarizmi masih muda, al-Hajjaj ditugaskan mengalihbahasakan Element Euclid ke dalam bahasa Arab. Al-Hajjaj tidak lain adalah rekan al-Khwarizmi di Graha Kebijaksanaan. Itu adalah pendapat bagi yang melihat bahwa karya al-Khwarizmi adalah penjabaran dari Euclid. Pendapat lain menyebut bahwa tidak ada difinisi, aksioma, postulat atau contoh-contoh seperti yang diuraikan oleh Euclid sehingga tidak dapat menggolongkan al-Khwarizmi sebagai pengikut Euclid. Pendukung pendapat kedua mengemukakan hukum aritmatika dengan obyek-obyek aljabar. Sebagai contoh, Khawarizmi menunjukkan bagaimana melakukan perkalian untuk ekspresi seperti:

(a + bx) (c+dx)

Meskipun tidak ada narasi untuk mengekspresikannya dan tidak ada simbol yang digunakan, tapi di sini tersirat konsep aljabar dengan akurasi tinggi: teori linier dan kuadratik dengan satu bilangan tidak diketahui. Dari sini aljabar dapat dipandang sebagai teori persamaan. Lebih lanjut al-Khwarizmi memberikan penerapan dan contoh seperti mencari luas bidang lingkaran, silinder, kerucut dan piramida.
Al-Khwarizmi juga menulis sistem bilangan Hindu-Arabik. Karya ini menggambarkan Hindu mempunyai sistem bilangan berbasis 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 9 dan 0. Pertama kali menggunakan angka nol dirintis olehnya.

Karya-karya lainnya
Karya al-Kwarizmi lainnya adalah dalam bidang astronomi. Topik utama yang disajikan dalam buku “Sindhind zij” adalah kalender; menghitung posisi matahari, bulan dan planet-planet; tabel sinus dan tangen; tabel astrologi; memprakirakan terjadinya gerhana. Karya lain adalah di bidang geologi yang memberi garis lintang dan garis bujur untuk 2402 tempat-tempat berdasarkan peta dunia. Buku ini mirip buku Ptolemy Geograpgy yang mencatat juga kota, gunung, lautan, pulau dan sungai. Manuskrip al-Khwarizmi lebih rinci untuk wilayah Islam, Afrika dan Timur Jauh. Untuk benua Eropa diambil dari data Ptolemy.
Selain itu al-Khwarizmi menulis topik-topik seperti penggunaan astrolabe (pengukur lintasan planet sebelum ditemukan sekstansextant) untuk mengetahui lintasan matahari dan kalender Yahudi.


Sumbangsih
Kiprah matematikawan Arab ini sungguh luar biasa. Pencetus istilah aljabar, memberi dasar dan tonggak dalam matematika. Semua itu membuat dia layak disebut dengan “bapak aljabar”, bukan Diophantus. Aljabar diajarkannya dengan bentuk-bentuk dasar, sedang Diophantus banyak berkutat dengan teori bilangan. Aljabar kemudian dipelajari dan menjadi milik dunia sampai saat ini. Menggabungkan artimatika dan aljabar. Keduanya penting sebagai sumber utama pengetahuan matematika selama berabad-abad baik di dunia Timur maupun di Barat.
Mengenalkan bilangan-bilangan Hindu ke Eropa. Kelak beberapa abad kemudian bangsa Arab akan melahirkan putra-putra terbaiknya sebagai matematikawan yang tidak kalah bersaing dengan rekan-rekannya yang berasal dari benua Eropa.
Read More..

Hypatia (370 – 415)

Riwayat

Hypatia dari Alexandria adalah wanita pertama yang memberi sumbangsih bagi perkembangan matematika. Hypatia adalah anak dari matematikawan, filsuf dan kepala museum Alexandria bernama Theon. Belajar matematika lewat bimbingan dan ajaran sang ayah. Prestasi tertinggi Hypatia adalah menjadi kepala sekolah Platonist di Alexandria sekitar tahun 400. Hypatia mengajar matematika dan filsafat, terutama filsafat neoplatonisme. Penemu neoplatonisme adalah Plotinus dilengkapi oleh Lamblichus yang mendominasi pemikiran pada kisaran tahun 300. Pandangan filsafat yang mengajarkan bahwa realitas terakhir tidak dapat digambarkan oleh pikiran maupun bahasa. Hypatia mengajar ide-ide filosofi dengan penekanan lebih banyak pada sisi ilmiah dibandingkan para pendahulunya. Hypatia digambarkan sebagai guru yang mempunyai kharisma
Hypatia yang belajar dan menekui sains yang pada awal bangkitnya agama Kristen ini diidentifikasikan dengan penyembah berhala. Para muridnya kagum dengan dedikasi Hypatia terhadap ilmu pengetahuan dan sains. Salah seorang murid Hypatia yang terkenal adalah Synesius dari Cyrene - kelak menjadi uskup Ptolomais, menyimpan semua surat-menyuratnya dengan Hypatia adalah bukti pengabdian Hypatia pada ilmu pengetahuan dan kagum akan kecerdasannya.

Karya-karya Hypatia
Tidak ada bukti konkrit yang menyatakan bahwa Hypatia melakukan penelitian matematika. Hypatia membantu Theon dalam menulis komentar tentang karya Ptolemy Almagest. Diketahui bahwa Hypatia juga terlibat dalam merevisi karya Euclid Elements yang dilakukan oleh Theon, dimana kemudian menjadi basis atau acuan karya-karya Euclid yang ada setelah itu. Kerjasama dengan ayah, seperti tertulis dalam The Suda, adalah memberi komentar karya Diophantus, Arithmetica, Conics dari Apollonius dan karya astronomikal dari Ptolemy.
Semua karya Hypatia dinyatakan hilang kecuali diketahui judul dan beberapa buku acauan yang digunakan. Dari semua catatan yang ada menyebutkan bahwa Hypatia adalah penyusun (compiler), editor dan melestarikan karya-karya para matematikawan masa-masa sebelumnya.

Masa akhir
“Kesalahan” utama Hypatia adalah dia terlahir sebagai wanita dan tidak menganut agama apapun (pagan) ditengah-tengah lingkungan Kristen yang sedang berkembang. Pada tahun 412, St. Cyril yang menjadi uskup di Alexandria berseteru dengan penguasa Alexandria yang bernama Orestes dari kekaisaran Romawi. Konflik antara gereja dan negara. Orestes yang tidak disukai oleh para pengikut Kristen, adalah teman Hypatia. Juga muncul selentingan bahwa Hypatia adalah pemicu konflik itu.

Konflik memuncak pada awal tahun 415, dimana sekelompok rahib Kristen menangkap Hypatia di tengah jalan, memukuli, dan menyeret tubuhnya ke gereja terdekat, untuk kemudian, (tidak perlu diceritakan lagi). Ada versi yang menyatakan bahwa Hypatia dibunuh oleh penjahat Alexandria.

Sumbangsih
Barangkali ini adalah akhir dari “kehebatan” Yunani, karena mengingkari keyakinan yang dianut selama ini, menghargai perbedaan pendapat. Namun dapat dicatat, meskipun tidak akurat, bahwa Hypatia adalah matematikawati pertama. Namanya ada pada posisi paling atas sebagai jawaban atas pertanyaan: “Siapa matematikawati paling terkenal?”
Read More..

Pappus (290 – 350)

Riwayat
Data riwayat Pappus dari Alexandria dapat dikatakan tidak ada sama sekali. Sesuai dengan namanya, Pappus lahir dan meninggal di Alexandria. Diketahui bahwa dia meneruskan karyanya kepada Hermodorus, Pandrosion dan Megethion. Ada praduga bahwa Hermodorus adalah anaknya. Pappus mempunyai teman seorang filsuf, bernama Hierius, yang diketahui menyarankan agar Pappus mempelajari problem-problem matematika, tapi selebihnya tidak ada yang diketahui.
Diophantus, barangkali dapat disebut sebagai seorang penerus tradisi matematika Yunani. Para pemikir dan matematikawan Yunani tidak dapat membangkitkan kembali dari masa kejayaan mereka. Tidak ada lagi karya spektuler sepeninggal Euclid, Archimedes dan Apollonius. Pappus yang hidup berkisar pada tahun 320 mencoba membangkitkan kembali lewat kompilasi karya-karya sebelumnya dengan judul Mathematical Collection (Synagoge) yang menjadi tonggak bagi perkembangan matematika selanjutnya.

Karya Pappus
Karya Pappus tentang geometri dirangkum dalam Buku berjudul Kumpulan matematikal (Collection) yang terdiri – seperti Euclid – dalam 8(delapan) buku/bagian. Buku ini diperkirakan ditulis pada sekitar tahun 340 (sebagian menaksir tahun 325).
Beberapa pokok-pokok penting dicoba dijabarkan di bawah ini.
Buku I berisi ulasan tentang aritmatika yang tidak ditemukan.
Buku II sebagian hilang tapi diketahui berisi bahasan tentang metode menangani bilangan-bilangan besar. Metode untuk mengekspresikan bilangan berpangkat, diketahui sampai pangkat 10000.
Buku III dibagi menjadi empat bagian. Bagian pertama, membahas problem menemukan perbandingan proposional antara dua garis lurus tertentu; bagian kedua, membahas konstruksi aritmatika, geometrik dan perbandingan harmonik; bagian ketiga, berisikan kumpulan paradoks-paradoks geometrikal yang dikatakan oleh Pappus diambil dari karya Erycinus. Tidak ada yang mengetahui secara tepat karya Erycinus; bagian keempat, berisikan lima bentuk polyhendra yang digambarkan dalam bentuk ruang.
Dalam buku ini pula terdapat bahasan tentang kehebatan geometri Yunani klasik. Di sini dilakukan pemilahan antara problem-problem: “ruang”, “benda” (solid) dan “garis” (linear) – pertama, berkutat dengan menggambar lingkaran dan garis lurus; kedua, penyelesaian dengan menggunakan potongan-potongan kerucut dan yang terakhir merupakan membutuhkan kurva-kurva bukan hanya garis, lingkaran dan kerucut lagi.

Buku IV berisi bentuk-bentuk kurva termasuk di sini adalah bentuk spiral dari Archimedes dan kuadratrik dari Hippias. Sekaligus berisi metode-metode pembagian menjadi tiga seksi dan pengenalan tipe-tipe kurva. Terdapat tiga *) kategori problem dalam geometri yang disebut dengan “plane”, “solid” dan “linear.”
Setiap problem mempunyai penyelesaian yang tepat. Jangan menggunakan pola garis lurus untuk menyelesaikan problem pada bidang. Begitu pula problem ruang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan pola garis lurus atau bidang.
Buku V diawali dengan bagaimana lebah membangun sarangnya (bentuk segi enam). Bahasan Pappus tentang hasil penelitian disimpulkan dalam buku ini, seperti yang dinyatakan:

Lebah ternyata mengetahui bahwa bentuk segi enam (heksagon) lebih besar daripada persegi panjang atau segitiga. Sarang lebah ternyata mampu menyimpan lebih banyak madu yang dibuat oleh lebah dengan bahan yang sama. Dapat disimpulkan bahwa makin dengan panjang sisi sama, maka bentuk dengan jumlah sudut makin banyak mempunyai isi makin besar dan yang paling besar adalah lingkaran.

Lebah membangun sarang bukan dalam bentuk persegi, segi tiga atau prima. Buku ini juga berisikan problem tentang isoperimeter, termasuk peragaan bahwa lingkaran mempunyai luas lebih besar dibandingkan dengan poligon bentuk apapun. Pokok pikiran ini seperti karya Zenodorus (± 180 SM). Dalam buku ini juga terdapat penemuan Archimedes tentang bentuk polyhendra (bidang dengan tiga belas sisi) yang sering disebut dengan bidang-bidang (solids) Archimedes.

Buku VI dan buku VII merangkum buku-buku matematikawan lain seperti: Throdosius, Autolycus, Aristarchus, Euclid, Apollonius, Aristaeus dan Eratoshenes. Buku VI menyinggung astronomi dan diberi sub-judul Little Astronomy banyak mengandung perbedaan dengan Greater Astronomy (Almagest) dari Ptolemy.
Buku VI berisi aplikasi matematika dalam astronomi, optik dan mekanika.

Buku VII tentang sejarah matematika. Melalui generalisasi, Pappus hampir menemukan prinsip dasar geometri analitik. Mempelopori generalisasi problem yang terkait dengan berbagai jenis kurva tipe baru. Disebut dengan problem Pappus yang menyebut tiga atau empat garis seperti halnya Euclid atau Apollonius.
Buku VII, didalamnya terdapat problem Pappus. Di sini terdapat gambaran lengkap tentang apa yang disebut dengan metode analisis dan kumpulan karya-karyanya yang disebut dengan Treasury of Analysis. Pappus memberi penjelasan bahwa analisis sebagai “suatu metode” yang dibedakan dengan sintesis. Dari gambaran yang diberikan Pappus, kita mengetahui bahwa pada Conics dari Apollonius terdapat 487 theorema. Dalam tujuh buku pertama berisikan 382 proposisi dan pada buku ke delapan yang hilang terdapat 105 proposisi.
Buku VIII adalah aplikasi matematika pada bidang astronomi, optik dan mekanika.

Penutup
Collections dari Pappus adalah makalah matematika kuno yang berisikan upaya dari pengarangnya untuk menghidupkan kembali geometri, namun tidak berhasil.
Memang rangkuman Element dari Euclid dan Almagest dari Ptolemy dapat dihidupkan. Kelak Theon (± 365) memberi tambahan informasi sejauh bukan karya matematika. Agaknya Hypatia – anak Theon - mampu mengangkat kembali geometri ke pentasnya kembali sebelum disebarluaskan olehnya lewat komentar dan resensi terhadap karya-karya Diophantus, Ptolemy dan Apollonius.


*) Geometer Yunani membagi kurva menjadi 3 kategori. Pertama, “plane loci” terdiri dari garis lurus dan lingkaran; kedua, “solid loci” terdiri dari bagian/potongan kerucut; ketiga, “liniear loci” gabungan antara garis dan bentuk bidang.


Sumbangsih
Membuat rangkuman semua karya-karya para pendahulunya – terutama karya Apollonius - dengan mutu lebih karena bahasannya sudah lebih rinci. Banyak gagasan Pappus yang dipakai oleh matematikawan era berikutnya. Tidak banyak gagasan baru yang dapat diambil, namun merupakan jembatan bagi pelestarian karya-karya para matematikawan sebelumnya.
Read More..

Diophantus (200 – 250)

Riwayat
Sekitar tahun 250 seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Alexandria melontarkan problem matematika yang tertera di atas batu nisannya. Tidak ada catatan terperinci tentang kehidupan Diophantus, namun meninggalkan problem tersohor itu pada Palatine Anthology, yang ditulis setelah meninggalnya. Pada batu nisan Diophantus tersamar (dalam persamaan) umur Diophantus.

Seperenam kehidupan yang diberikan Tuhan kepadaku adalah masa muda. Setelah itu, seperduabelasnya, cambang dan berewokku mulai tumbuh. Ditambah sepertujuh masa hidupku untuk menikah, dan tahun kelima mempunyai anak. Sialnya, setengah waktu dari kehidupanku untuk mengurus anak. Empat tahun kegunakan bersedih.
Berapa umur Diophantus? *)

Dugaan tentang kehidupan Diophantus cukup misterius. Kita hanya dapat menduga lewat dua fakta yang menarik sebelum menarik kesimpulan. Pertama, dia mengutip tulisan Hypsicles yang diketahui hidup sekitar tahun 150 SM. Kedua, tulisan Diophantus dikutip oleh Theon dari Alexandria. Prakiraan hidup Theon, diacu dari gerhana matahari yang terjadi pada 16 Juni 364. Dengan dua fakta ini diperkirakan Diophantus hidup antara tahun 150 SM sampai tahun 364. Para peneliti, menyimpulkan bahwa diperkirakan Diophantus hidup sekitar tahun 250.

Karya Diophantus
Diophanus menulis Arithmetica, yang mana isinya merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat beberapa persamaan. Persamaan-persamaan tersebut disebut persamaan Diophantin, digunakan pada matematika sampai sekarang.
Diophantus menulis lima belas namun hanya enam buku yang dapat dibaca, sisanya ikut terbakar pada penghancuran perpustakaan besar di Alexandria. Sisa karya Diophantus yang selamat sekaligus merupakan teks bangsa Yunani yang terakhir yang diterjemahkan. Buku terjemahan pertama kali dalam bahasa Latin diterbitkan pada tahun 1575. Prestasi Diophantus merupakan akhir kejayaan Yunani kuno.
[Pierre] Fermat mengetahui buku Diophantus lewat terjemahan Clause Bachet yang diterbitkan tahun 1621. Problem kedelapan pada buku kedua tentang cara membagi akar bilangan tertentu menjadi jumlah dua sisi panjang. Rumus Pythagoras sudah dikenal orang Babylonia 2000 tahun silam – memberi inspirasi bagi Fermat untuk menuliskan TTF /Theorema Terakhir Fermat (Fermat Last Theorem).
Susunan dalam Arithmetica tidak secara sistimatik operasi-operasi aljabar, fungsi-fungsi aljabar atau solusi terhadap persamaan-persamaan aljabar. Di dalamnya terdapat 150 problem, semua diberikan lewat contoh-contoh numerik yang spesifik, meskipun barangkali metode secara umum juga diberikan. Sebagai contoh, persamaan kuadrat mempunyai hasil dua akar bilangan positif dan tidak mengenal akar bilangan negatif. Diophantus menyelesaikan problem-problem menyangkut beberapa bilangan tidak diketahui dan dengan penuh keahlian menyajikan banyak bilangan-bilangan yang tidak diketahui.
Contoh: Diketahui bilangan dengan jumlah 20 dan jumlah kuadratnya 208; angka bukan diubah menjadi x dan y, tapi ditulis sebagai 10 + x dan 10 – x (dalam notasi modern). Selanjutnya, (10 + x)² + (10 - x)² = 208, diperoleh x = 2 dan bilangan yang tidak diketahui adalah 8 dan 12.

Diophantus dan Aljabar
Dalam Arithmetica, meski bukan merupakan buku teks aljabar akan tetapi didalamnya terdapat problem persamaan x² = 1 + 30y² dan x² = 1 + 26y², yang kemudian diubah menjadi “persamaan Pell” x² = 1 + py²; sekali lagi didapat jawaban tunggal, karena Diophantus adalah pemecah problem bukan menciptakan persamaan dan buku itu berisikan kumpulan problem dan aplikasi pada aljabar. Problem Diophantus untuk menemukan bilangan x, y, a dalam persamaan x² + y² = a² atau x³ + y³ = a³, kelak mendasari Fermat mencetuskan TTF (Theorema Terakhir Fermat). Prestasi ini membuat Diophantus seringkali disebut dengan ahli aljabar dari Babylonia dan karyanya disebut dengan aljabar Babylonia.

*) Misal umur x, sehingga x = 1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + ½x + 4 akan diperoleh x = 84, umur Diophantus.


Sumbangsih
Seringkali disebut dengan ”Bapak” aljabar Babylonia. Karya-karyanya tidak hanya mencakup tipe material tertentu yang membentuk dasar aljabar modern; bukan pula mirip dengan aljabar geometri yang dirintis oleh Euclid.
Diophantus mengembangkan konsep-konsep aljabar Babylonia dan merintis suatu bentuk persamaan sehingga bentuk persamaan seringkali disebut dengan persamaan Diophantine (Diophantine Equation) menunjuk bahwa Diophantus cukup memberi sumbangsih bagi perkembangan matematika.
Read More..

Apollonius (262 SM – 190 SM)

Riwayat
Tidak banyak informasi tentang Apollonius dari Perga yang lazim disebut dengan pakar pengukur tanah (geometer) terbesar. Namun karya-karyanya membawa dampak besar bagi perkembangan matematika. Buku karyanya yang terkenal, Conics (kerucut), mengenalkan istilah-istilah yang sekarang populer seperti: parabola, elips dan hiperbola.
Disebut dengan kerucut karena irisan dari sebuah kerucut akan menghasilkan tiga bentuk yang sudah disebut di atas. Masa mudanya tidak terlalu jelas, tapi diketahui bahwa dia mengalami masa pemerintahan Ptolemy Euergetes, Ptolemy Philopatus; ada laporan yang menyebut bahwa Apollonius adalah pengikut Ptolemy Philadelphus. Umurnya lebih kurang 25 – 40 tahun lebih muda dibandingkan dengan Archimedes.

Apollonius lainnya

Seperti halnya nama Archimedes yang banyak dipakai orang. Untuk menghindari kerancuan, maka masing-masing nama disebutkan asalnya. Begitu pula terdapat banyak nama Apollonius yang dikenal dalam hubungannya dengan ilmu. Beberapa nama Apollonius yang dikenal umum. Apollonius dari Rhodes yang lahir pada kisaran tahun 295 SM adalah ahli sastra Yunani, murid Callimachus yang juga guru dari Eratosthenes; Apollonius dari Tralles, dua abad SM, adalah seorang pemahat Yunani; Apollonius dari Tyana, abad pertama, adalah salah satu pengikut Pythagoras (Pythagorean); Apollonius dari Dyscolus, dua abad setelah masehi, ahli bahasa Yunani dan perintis pembelajaran tata-bahasa secara sistematis; dan Apollonius dari Tyre adalah nama pustakawan terkenal.

Riwayat
Apollonius yang menjadi matematikawan lahir di Perga, Pamphylia yang sekarang dikenal dengan sebutan Murtina atau Murtana, terletak di Antalya, Turki. Pada jaman itu, Perga adalah pusat kebudayaan dan lokasi kuil Artemis, dewi alam. Saat muda usia Apollonius pergi ke Alexandria dimana dia belajar di bawah bimbingan para pengikut Euclid sebelum mengajar di sana. Kemudian, Apollonius pergi ke Pergamun di mana di sana terdapat universitas dan perpustakaan besar untuk menyaingi perpustakaan besar di Alexandria sedang dalam tahap pembangunan. Pergamum saat ini tidak lain merupakan nama lain dari kota Bergama terletak pada propinsi Izmir di Turki, adalah kota Yunani kuno. Dengan lokasi pada 25 km dari laut Aegean pada perbukitan sebelah utara lembah sungai Caicus (sekarang disebut dengan sungai Bakir).
Di Pergemum, Apollonius bertemu dengan Eudemus yang menulis buku Sejarah Geometri (Hystory of Geometry) dan Attalus, yang diperkirakan adalah Raja Attalus I dari Pergamum. Prakiraan ini diawali dari kata pengantar buku Apollonius yang menunjukkan rasa hormat dan sembah takzim kepada Attalus.

Karya-karya yang hilang
Karya-karya Apollonius banyak yang hilang. Skema bilangan dari Apollonius barangkali adalah salah satu yang terselamatkan dari bagian terakhir buku II berjudul Kumpulan Matematikal (Mathematical Collections) dari Pappus (Semua buku I dan awal buku II hilang). Apollonius juga menulis Cara Cepat (Quick Delivery) yang berisikan pengajaran tentang tip-tip atau teknik-teknik penghitungan cepat. Diketahui bahwa karya-karya Apollonius yang hilang seperti: penjabaran nisbah/ratio (Cutting-off Ratio); penjabaran luas (cutting-off of an area); seksi penentu (On Determinate Section); Tangen; titik potong (vergings) dan Plane Loci. *
Dari gambaran yang ditulis dari karya-karya Pappus dan para pendahulunya, muncul gagasan, pada abad ke-17, untuk merekonstruksi buku-buku geometri karya matematikawan Yunani kuno yang hilang, dimana makalah karya Apollonius adalah salah satu diantaranya. Kelak karya Apollonius ditemukan oleh para bangsawan Perancis (termasuk Fermat) pada abad 17 yang memberi pengaruh besar bagi para matematikawan Perancis pada umumnya dan Fermat pada khususnya.

Karya puncak, Conics (kerucut)
Buku pertama Conics (kerucut) membahas segala sesuatu tentang hal-hal mendasar tentang kurva-kurva yang disebut “paling lengkap dan lebih umum dibanding pengarang-pengarang lain.” Dalam buku ini pula disebutkan theorema dan transformasi koordinat dari sistem yang didasarkan pada tangen dan diameter pada titik P yang berada pada kerucut ke dalam sistem baru yang ditentukan oleh tangen dan diameter dari titik Q yang berada pada kurva yang sama. Apollonius sangat mengenal karakteristik hiperbola dengan asimtut sebagai absisnya. Persamaan xy = c2 adalah hiperbola sama sisi yang mirip dengan rumus hukum Boyle tantang gas.
Buku kedua melanjutkan bahasan tentang tangen dan diameter. Dengan menggunakan proposisi-proposisi dan gambar-gambar kurva.
Buku ketiga disebut oleh Apollonius yang paling membanggakan dirinya karena disebutkan berisi theorema-theorema yang bermanfaat untuk melakukan (operasi) sintesis dan solid loci penentuan limit. Disebutkan olehnya bahwa Euclid belum menyinggung topik ini. Locus tiga dan empat garis memegang peran penting dalam matematika sejak Euclid sampai Newton.
Buku keempat menggambarkan keinginan pengarangnya untuk menunjukkan “Berapa banyak cara bagian kerucut dapat saling berpotongan.” Ide tentang hiperbola dua cabang yang berlawanan arah adalah gagasan Apollonius.
Buku kelima berhubungan dengan maksimum dan minimum garis lurus yang bersinggungan dengan kerucut.
Pada saat buku ini dibuat, tidak pernah terpikirkan bahwa akan konsep-konsep didalamnya mendasari dinamika bumi (terrestial) dan mekanika alam semesta (celestial). Tanpa pengetahuan tentang tangen terhadap parabola mustahil analisis terhadap lintasan peluru tidaklah dimungkinkan.
Buku keenam, berisikan proposisi-proposisi tentang bagian dari kerucut apakah sama atau beda, mirip atau berlainan. Terdapat satu proposisi yang membuktikan bahwa apabila sebuah kerucut dipotong oleh dua garis sejajar terjadilah bagian-bagian hiperbolik dan eliptik, bagian yang mirip namun tidak sama.
Buku ketujuh kembali membicarakan tentang mentasrifkan (conjungate) diameter-diameter dan berbagai “proposisi-proposisi baru” yang membahas diameter dari bagian-bagian kerucut.

Asal-usul nama
Archimedes sudah mencetuskan nama parabola yang artinya bagian sudut kanan kerucut. Apollonius (barangkali melanjutkan penamaan Archimedes) mengenalkan kata elips dan hiperbola dalam kaitannya dengan kurva-kurva tersebut. Istilah “elips”, “parabola”, dan “hiperbola” bukanlah penemuan Achimedes maupun Apollonius; mereka mengadaptasi kata dan artinya dari para pengikut Pythagoras (pythagorean), dalam menyelesaikan persamaan-persamaan kuadratik untuk aplikasi mencari luas. Elips berarti kurang atau tidak sempurna digunakan untuk memberi nama apabila luas persegi panjang pada bidang yang diketahui disetarakan dengan bagian garis tertentu yang diketahui hasilnya kurang. Hiperbola yang artinya kelebihan dipakai apabila luas persegi panjang pada bidang yang diketahui disetarakan dengan bagian garis tertentu yang diketahui hasilnya lebih. Parabola yang artinya di samping atau pembanding) tidak mengindikasikan lebih atau kurang. Apollonius menggunakan ketiga istilah di atas dalam konteks baru yaitu sebagai persamaan parabola dengan verteks pada titik asal, (0,0), sistem Kartesian, adalah y² = lx (l = “latus rectum” atau parameter) sekarang diganti dengan 2p atau bahkan 4p.


* Geometer Yunani membagi kurva menjadi 3 kategori. Pertama, “plane loci” terdiri dari garis lurus dan lingkaran; kedua, “solid loci” terdiri dari bagian/potongan kerucut; ketiga, “liniear loci” gabungan antara garis dan bentuk bidang.

Sumbangsih
Konsep parabola, hiperbola dan elips banyak memberi sumbangan bagi astronomi modern. Buku Newton Principia memberi harapan orang melakukan perjalanan ke luar angkasa. Baru tahun 1960-an, keinginan itu terlaksana karena pemahaman konsep minima, maksima dan tangen dari Apollonius. Karya Apollonius kelak digeneralisasikan oleh Descartes - setelah ada “sentuhan” Pappus, untuk menguji geometri analitik. Tema seperti buku teks dan bahasan yang mendalam dan rinci mamberi inspirasi bagi perkembangan matematika abad-abad berikutnya.
Read More..

Archimedes (287 – 212 SM)

“Berikan saya tempat untuk berdiri dan saya akan mengangkat bumi”
(“Give me a place to stand on and I will move the earth”)
Archimedes

Apabila Matematikawan dan fisikawan ikut perang

Riwayat
Archimedes adalah seorang arsitokrat. Archimedes adalah anak astronom Pheidias yang lahir di Syracuse, koloni Yunani yang sekarang dikenal dengan nama Sisilia. Dia mempunyai hubungan keluarga dengan tiran (raja) Hieron II yang berkuasa di Syracuse pada jaman itu. Archimedes berteman dengan Gelon, anak Hieron II, dimana keduanya adalah matematikawan andalan raja. Membicarakan Archimedes tidaklah lengkap tanpa kisah insiden penemuannya saat dia mandi. Saat itu dia menemukan bahwa hilangnya berat tubuh sama dengan berat air yang dipindahkan. Dia meloncat dari tempat mandi dan berlari terlanjang di jalanan Syracuse sambil berteriak “Eureka, eureka!” (saya sudah menemukan, saya sudah menemukan). Saat itulah Archimedes menemukan hukum pertama hidrostatik. Kisah di atas diawali oleh tukang emas yang tidak jujur dengan mencampurkan perak ke dalam mahkota pesanan Hieron. Hieron curiga dan menyuruh Archimedes untuk memecahkan problem tersebut atau melakukan pengujian tanpa merusak mahkota. Rupanya saat mandi tersebut, Archimedes memikirkan problem tersebut. Tentang nasib tukang emas itu sendiri tidak ada yang mengetahuinya.

Masa sekolah
Saat muda usia dia menuntut ilmu di Alexandria, Mesir. Pada saat itu dia menjalin persahabatan dengan dua orang “istimewa.” Teman pertama, Conon adalah matematikawan berbakat yang sangat dihormati Archimedes baik secara pribadi maupun intelektual. Teman kedua, Eratosthenes *), juga seorang matematikawan sekaligus astronom, meski mempunyai “kelainan” yaitu: suka bersolek. Dengan kedua teman ini, teristimewa Conon, Archimedes dapat berbagi pemikiran dan berdiskusi. Akhirnya, Conon meninggal dan surat menyurat antar keduanya digantikan oleh Dositheus, murid Conon.
Tahun 1906, J.L. Heiberg, membuat penemuan dramatis di Konstantinopel yaitu: “surat” Archimedes kepada Erastosthenes: Theorema mekanikal, suatu metode. Dalam suratnya ini, Archimedes mengukur berat, dalam imajinasi, guna menghitung luas atau mengetahui volume (isi) sesuatu yang tidak diketahui lewat sesuatu yang diketahui, dia merintis ilmu pengetahuan berdasar penggalian fakta; fakta ini digunakan sebagai pembanding untuk kemudian dibuktikan secara matematis.
Ada versi lain yang menyebut bahwa Archimedes diperkirakan berguru pada murid Euclid. Archimedes dapat disebut sebagai matematikawan sekaligus fisikawan pertama, dimana selain menemukan “mesin perang”, alat-alat mekanis serta pompa air untuk mengangkat air sungai Nil guna mengairi (irigasi) tanah-tanah di seluruh negeri.

Sifat eksentrik Archimedes
Dalam hal eksentrik Archimedes sering dibandingkan dengan Weierstrass (1815 – 1897). Menurut penuturan saudarinya, Weierstrass – pada waktu sekolah, tidak pernah diberi kepercayaan untuk memegang pinsil. Apabila memegang pinsil, maka dia akan menggambari apapun yang dianggapnya masih kosong. Dari wallpaper sampai balik kerah baju. Sebaliknya, Archimedes - belum mengenal kertas, selalu menggambar di pasir atau tanah yang lembek sebagai ganti fungsi “papan tulis.” Dia akan menggambar sesuka hatinya. Apabila duduk di dekat perapian, dia akan mengambil arang atau sisa pembakaran dan digunakan untuk menggambar. Setelah mandi, biasanya dia akan melumuri seluruh tubuhnya dengan minyak zaitun, yang lazim dipakai pada jaman itu, daripada mengenakan pakaian, dia akan menggambar diagram-diagram dengan menggunakan jari kuku dengan “papan tulis” adalah seluruh tubuhnya yang berminyak. Ada sifat yang lazim diidap oleh para matematikawan seperti: lupa makan. Sifat lupa makan Archimedes, saat menekuni problem matematika, ternyata diwariskannya kepada [Isaac] Newton dan [William Rowan] Hamilton.

Archimedes terlibat perang
Saat ini Romawi adalah kerajaan dengan banyak pejabatnya korup. Di Mediteranian, sekarang Tunisia, dan kota Carthage, muncul dan menjadi penguasa dengan koloni meliputi wilayah sepanjang pantai Afrika sampai Spanyol. Romawi merasa iri hati dan menyerbu. Dua kali serangan yang disebut dengan perang Punic, mampu menaklukkan Carthage. Tetapi tidak lama kemudian, Carthage mampu bangkit kembali, sehingga memaksa Romawi kembali melancarkan serangan, perang Punic ketiga. Kali ini, tentara Romawi tidak memberi ampun lagi. Begitu dapat menaklukkan, mereka menghancurkan kota dan membunuhi para penghuninya (146 SM).
Di atas adalah latar belakang terjadinya perang Punic. Selama perang Punic ini, Romawi mengirim pasukan di bawah komando Claudius Marcellus pada tahun 214 SM untuk menyerang Syracuse. Alasan utamanya adalah karena raja Syracuse menjalin hubungan dengan Carthage; alasan lain, tentara Romawi selalu dapat menaklukkan wilayah kecil dengan mudah. Tetapi saat ini mereka ketemu batunya.
Tentara Romawi menyerbu Syracuse dari segala penjuru, daratan dan lautan, terhadang oleh rekayasa sains; tidak canggih namun cerdik. Penduduk Syracuse sudah diajari bagaimana menggunakan tuas (lever) dan berbagai macam bentuk pelontar, dan mereka menerapkan kemampuan ini pada perang di darat maupun di laut. Tentara Romawi dipaksa mundur dan lari lintang-pukang di bawah hantaman “badai” batu dan panah yang dilontarkan oleh ketapel-ketapel buatan Archimedes. Belum lagi adanya serangan dari pelontar tali berisi peluru dan busur kecil (crossbow) yang menembakkan anak panah besi.
Serangan pasukan Romawi lewat laut, hasilnya tidak jauh berbeda, hampir semua armada kapal perang mereka hancur. Besi-besi besar dijatuhkan oleh pasukan Syracuse lewat derek (crane) yang dibangun, mampu menenggelamkan kapal-kapal Romawi. Derek lain digunakan mengangkat kapal-kapal Romawi dan pasukan-pasukan berebut menyelamatkan diri dengan terjun ke laut. Masih ditambah dengan cermin pembakar, maka lengkaplah “derita” kapal-kapal Romawi. Seorang tua menciptakan cermin heksagonal dan di sela-sela cermin berukuran proporsional tersebut dipasang empat cermin segi empat, digerakkan dengan besi yang dibentuk seperti engsel jaman modern, diarahkan ke matahari. Berkas sinar yang dipantulkan oleh cermin-cermin tersebut diarahkan ke kapal, menimbulkan api dan kapal terbakar. Pengoperasian cermin dilakukan dari ketinggian di tengah kota oleh seorang lelaki tua.
Siasat lain mulai dicari. Tentara Romawi mencoba membangun tembok di luar tembok kota, namun tidak pernah selesai dibangun. Muasalnya adalah derek dengan bandulan besi berputar mengelilingi kota Syracuse untuk menghancurkan tembok-tembok tersebut sekaligus menghalau pasukan Romawi yang akan maju.
Gagal dengan serangan frontal, Marcellus menggunakan cara lain. Saat penduduk Syracuse merayakan kemenangan, diselimuti oleh gelapnya malam, dikirimlah mata-mata (Buku legendaris “Seni Berperang” Sun Tzu – hidup 500 SM, tentang penggunaan mata-mata, bab 13, bab terakhir, barangkali mengilhami atau barangkali ide dari perang Troya dengan taktik kuda Troya) untuk menghancurkan “monster-monster” ciptaan Archimedes dan membuka pintu gerbang kota. Perang berlangsung selama 3 tahun, sebelum Romawi dapat mengalahkan si kecil cerdik, Syracuse.

Penemuan-penemuan Archimedes
Minat Archimedes adalah matematika murni: bilangan, geometri, menghitung luas bentuk-bentuk geometri. Archimedes dikenal karena kehebatannya mengaplikasikan matematika. Kehebatan inilah yang akan diuraikan di bawah ini.
Archimedes berjasa menemukan ulir Archimedes, alat untuk mengangkat air dengan jalan memutar gagang alat ini dengan tangan. Penggunaan awal alat ini adalah untuk membuang air yang masuk ke dalam perahu atau kapal. Tapi dalam perkembangannya digunakan untuk memompa air dari dataran yang lebih rendah ke tanah yang lebi tinggi. Alat ini sampai sekarang masih dipakai oleh para petani di seluruh dunia.
Penggunaan cermin pembakar, memberi indikasi bahwa beberapa bentuk geometri sudah diketahui Archimedes, teristimewa bentuk hiperbola. Bentuk lingkaran, elips dan hiperbola terbentuk hanya bagaimana cara kita mengiris suatu bidang. Parabola adalah bentuk istimewa: dapat “mengambil” sinar matahari, dari arah manapun, dan difokuskan pada suatu titik, dan konsentrasikan semua energi cahaya pada bidang sempit untuk dipancarkan kembali dalam berkas sinar yang sangat panas.
Archimedes sudah mencoba menghitung luas parabola, elips, hiperbola dan menentukan titik pusat gravitasi pada setengah lingkaran dan lingkaran. Tidak diketahui secara pasti berapa banyak karya-karya Achimedes yang hilang atau belum ditemukan satu yang terpenting, Metode (The Method, sebagian besar sudah ditemukan pada tahun 1906), tapi karya lain termasuk: On Spiral, On the Measuremant of the Circle, Quadrature of the Parabola, on Conoids & Spheroids, on the Sphere & Cylinder, Books of Lemmas dll. tidak sesuai dengan segala sesuatu yang dihasilkan Archimedes pada jaman Romawi.
Archimedes adalah orang pertama yang memberi metode menghitung besar ? (pi) dengan derajat akurasi yang tinggi. Menghitung besar ? dilakukan dengan cara membuat lingkaran diantara dua segi enam. Luas segi enam kecil < luas lingkaran < luas segi enam besar. Dengan memperbesar jumlah segi - Archimedes membuat 96 sisi, diperoleh besaran: 3 10/71 < Л < 3 1/7 (3,14084 < Л < 3,14285) Dalam menghitung ?, jaman modern, para matematikawan mengikuti jejak Archimedes. Sebagai contoh, pada abad 17, Ludolph van Ceulen dari Jerman, menggunakan segi 262. Upaya gigih guna mencari besaran ? ini dilakukannya sampai dia meninggal. Jadi tidaklah mengherankan, apabila orang Jerman – untuk menghormati jasa, pada nisan dipahat “Angka Ludolphian” yang berarti ? di Jerman. Penggunaan tuas dalam perang dengan menciptakan crane, menunjuk bahwa Archimedes sudah memahami prinsip tuas, yaitu: dua benda yang mencapai keseimbangan berat pada suatu jarak tertentu memiliki besar yang proporsional secara timbal-balik. Archimedes meninggal Apabila pada tahun-tahun sebelumnya, penemuan-penemuan Archimedes selalu membuat pasukan Romawi frustrasi. Mereka tidak dapat menaklukan Syracuse untuk dijadikan koloni. Alat-alat mekanik ciptaan Archimedes selalu dapat mementahkan dan menghancurkan semua serangan mereka. Salah satu kisah menarik adalah tentang Archimedes dalam perang ini adalah menciptakan “cermin-cermin pembakar” yang mampu membakar kapal-kapal Romawi dari kejauhan. Tahun 212 SM, Syracuse akhirnya jatuh ke tangan Romawi, setelah terjadi penyusupan di malam hari. Singkat kata, Marcellus dengan didampingi para prajuritnya mendatangi pencipta alat yang membuat semua petaka bagi tentara Romawi. Saat itu Archimedes sedang menggambar diagram di pasir. Pikiran dan matanya hanya terpusat pada diagram-diagram yang digambarnya. Tidak memperdulikan sekelilingnya. Marcellus dan prajurit pengikutnya diam mengamati sampai akhirnya seorang prajurit kehilangan kesabaran. Seorang prajurit Marcellus datang menghampiri dan memerintahkan agar Archimedes segera menghadap komandan mereka, namun dia tidak menuruti perintah dan baru akan menghadap setelah menyelesaikan problem dan memberikan pembuktiannya. Kesabaran prajurit itu habis dan maju untuk menangkap Archimedes. “Jangan sentuh lingkaran-lingkaran yang saya buat!” adalah teriakan terakhir Archimedes ketika prajurit itu menginjak gambar diagram di atas pasir. Prajurit yang tidak diketahui namanya itu marah, menghunus pedang dan membunuh Archimedes yang sudah berusia 75 tahun. *) Eratoshenes (273 – 192 SM) melakukan penghitungan diameter bumi pada tahun 230 SM. Dia menengarai bahwa kota Syene di Mesir terletak di equator, dimana matahari bersinar vertikal tepat di atas sumur pada hari pertama musim panas. Eratoshenes mengamati fenomena ini tidak dari rumahnya, dia menyimpulkan bahwa matahari tidak akan pernah mencapai zenith di atas rumahnya di Alexandria yang berjarak 7° dari Syene. Jarak Alexandria dan Syene adalah 7/360 atau 1/50 dari lingkaran bumi yang dianggap lingkaran penuh adalah 360°. Jarak antara Syene sampai Alexandria +/- 5000 stade. Dengan dasar itu dibut prakiraan bahwa diameter bumi berkisar: 50 x 5000 stade = 25.000 stade = 42.000 Km. Pengukuran tentang diameter bumi diketahui adalah 40.000 km. Ternyata, astronomer jaman kuno juga tidak kalah cerdasnya, dengan deviasi kurang dari 5%. Sumbangsih Prinsip-prinsip fisika dan matematika diaplikasikan oleh Archimedes baik untuk tujuan “mulia” – pompa ulir, untuk mengangkat air dari tempat yang lebih rendah maupun untuk tujuan perang. Memang tidak dapat dihindari bahwa suatu penemuan biasanya akan dipicu oleh suatu kebutuhan mendesak. Cermin pembakar, derek (crane) untuk melontarkan panah dan batu atau menenggelamkan kapal adalah penguasaan fisika Archimedes yang dapat dikatakan luar biasa pada jamannya. Kontribusi penghitungan Л (pi) dari Archimedes barangkali dapat disebut sebagai awal bagi para pengikut untuk meniru metode yang dipakai untuk menghitung luas lingkaran. Terus memperbanyak jumlah segi enam untuk menghitung besaran Л (pi) mengilhami para matematikawan berikutnya bahwa adanya suatu ketidakhinggaan - seperti paradoks Zeno, dimana hal ini mendorong penemuan kalkulus.
Read More..

Euclid (325 – 265 SM)

“Tidak ada jalan mulus mempelajari geometri”
(“There is no royal road to geometry”)
Euclid

Pemberi dasar bahwa matematika adalah ilmu yang perlu pembuktian


Riwayat
Tidak lama Pythagoras meninggal, lahirlah Euclid. Pada era ini matematika lebih dikenal sebagai sains dan kurang mistik. Theorema-theorema baru ditambahkan: kurva-kurva, lingkaran-lingkaran dan bentuk-bentuk lain dipelajari sama halnya seperti garis lurus dan bidang–bidang datar. Tahun yang disebut di atas hanya prakiraan karena tidak adanya sumber yang layak dipercaya. Ada sumber yang menyebutkan Euclid hidup antara tahun 330 - 275 SM. Lembaga yang menaungi pembelajaran saat itu adalah akademi Plato. Masa keemasan Yunani dan kebebasan berekspresi membuat pemikir-pemikir baru bermunculan. Didirikan pada 380 SM, lolos dari invasi-invasi yang datang silih berganti, hidup dalam suksesi banyak tiran dan menjadi saksi keruntuhan dua kebudayaan besar – Yunani dan Romawi – sebelum akhirnya ditutup pada abad keenam oleh kaisar Justinian.
Euclid diperkirakan belajar pada akademi Plato ini sebelum diangkat menjadi pengajar matematika di tempat yang sama. Ada cerita Euclid masih mengajar di akademi ini ketika Alexander Agung menyatakan misinya untuk menaklukkan dunia. Yunani, bersama Mesir dan Mediterian dan negara-negara di kepulauan Yunani ditaklukkan oleh angkatan perang Macedonian. Pada tahun 332 SM, Alexander Agung menetapkan ibukota negara di Alexandria, Mesir dan sembilan tahun kemudian ia meninggal pada usia 33 tahun. Tahta diberikannya kepada jendral Ptolemy atau Claudius Ptolemaeus.


Universitas Ptolemy
Ptolemy - orang terpelajar *, membangun bukan saja suatu dinasti, mencakup salah satu keturunannya yang sangat terkenal, Kleopatra, tetapi juga mendirikan universitas yang lebih besar dari akademi Plato dan mengundang Euclid untuk mengajar di sana. Di tempat baru ini, Euclid merintis pengajaran matematika dan tinggal di sana sampai akhir hayatnya. Sebagai seorang guru, dia barangkali salah satu mentor Archimedes.
Ada legenda yang menceritakan bahwa anak Ptolemy bertanya kepada Euclid apabila ada cara mudah belajar geometri dengan mempelajari semua preposisi. “Tidak ada cara mulus mempelajari geometri,” adalah jawaban Euclid sambil menyuruh pangeran kembali membaca buku geometri. Jawaban ini menjadi kutipan (quotation) terkenal dari Euclid.
Euclid meninggal namun universitas Ptolemy di Alexandria terus berjalan. Salah satu murid terbesarnya – tanpa mengesampingkan teman sesama mahasiswa, adalah Archimedes. Orang Yunani dari Syracuse yang menimba ilmu di universitas, dimana salah satu pengajarnya adalah Euclid.


Pribadi Euclid
Euclid dapat disebut sebagai matematikawan utama. Dia dikenal karena peninggalannya berupa karya matematika yang dituang dalam buku The Elements sangatlah monumental. Buah pikir yang dituangkan ke dalam buku tersebut membuat Euclid dianggap sebagai guru matematika sepanjang masa dan matematikawaan terbesar Yunani.
Pribadi Euclid digambarkan sebagai orang yang baik hati, jujur, sabar dan selalu siap membantu dan bekerjasama dengan orang lain. Banyak theorema-theorema yang dijabarkannya merupakan hasil karya pemikir-pemikir sebelumnya termasuk Thales, Hippokrates dan Pythagoras.
Banyak informasi salah tentang Euclid. Ada yang menyebutkan bahwa dia adalah anak Naucrates yang lahir di Tyre. Informasi lain mengemukakan bahwa di lahir di Megara. Memang ada nama yang sama, Euclid dan lahir di Megara, tetapi hal itu terjadi 100 tahun sebelum kelahiran Euclid dan profesi Euclid dari Megara adalah filsuf. Euclid sendiri lahir di Alexandria. Kesalahan nama ini jamak terjadi karena pada masa itu banyak orang bernama Euclid.


Karya besar Euclid
The Element dapat dikatakan karya fenomenal pada jaman itu. Terdiri dari 13 buku yang tersusun berdasarkan tema dan topik. Setiap buku diawali dengan difinisi, postulat (hanya untuk buku I), preposisi, theorema sebelum ditutup dengan pembuktian dengan menggunakan difinisi dan postulat yang sudah disebutkan. Buku ini ke luar Yunani tahun 1482, diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dan Arab, serta menjadi buku teks geometri dan logika pada awal tahun 1700-an. Garis besar isi masing-masing buku.

Buku I : Dasar-dasar geometri: teori segitiga, sejajar dan luas
Buku II : Aljabar geometri
Buku III : Teori-teori tentang lingkaran
Buku IV : Cara membuat garis dan gambar melengkung
Buku V : Teori tentang proporsi-proporsi abstrak
Buku VI : Bentuk yang sama dan proporsi-proporsi dalam geometri
Buku VII : Dasar-dasar teori angka
Buku VIII : Proporsi-proporsi lanjutan dalam teori angka
Buku IX : Teori angka
Buku X : Klasifikasi
Buku XI : Geometri tiga dimensi
Buku XII : Mengukur bentuk-bentuk
Buku XIII : Bentuk-bentuk tri-matra (tiga dimensi)

Euclid mencetuskan 5 postulat yang kemudian menjadi pokok bahasan. Agar tidak terjadi salah interpretasi, maka postulat kelima juga disajikan dalam bahasa Inggris. Hal ini disengaja, karena munculnya geometri non-Euclidian, dirintis oleh Gauss, diawali dengan menganggap postulat kelima salah total..

1. Garis lurus dapat digambar dari (sembarang) titik sampai (sembarang) titik lainnya.
2. Ujung garis lurus dapat dilanjutkan terus sebagai garis lurus.
3. Lingkaran dapat digambar dari sembarang titik pusat dan dengan jari-jari berbeda.
4. Semua sudut-sudut di sisi kanan besarnya sama dengan sisi lainnya.
5. Apabila garis lurus terpotong menjadi dua garis lurus, menyudut di sisi dalam pada kedua garis pada sisi yang sama daripada dua sudut yang sejajar, jika diteruskan sampai ke (titik) tak terhingga, akan berpotongan pada sisi dimana sudutnya lebih kecil dibandingkan sudut yang terbentuk dari dua garis.
(If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side together less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which the angles are together less than two right lines)

Theorema-theorema pada Elements adalah kompilasi karya para matematikawan sebelumnya – Pythagoras, Eudoxus, Menaechunus, Hippocrates, menampilkan pembuktian-pembuktian kuno dengan mengganti dengan baru dan disederhanakan. Element menjadi – dan abadi – buku teks baku dalam geometri. Saat mesin cetak ditemukan, buku ini termasuk buku pertama yang dicetak.
Euclid mencoba memecahkan problem irrasional yang membuat Pythagoras putus-asa. Dengan menggunakan contoh segitiga siku-siku dengan panjang kedua sisinya 1, maka sisi panjang segitiga adalah x² = 2. Euclid membuat asumsi bahwa solusinya dapat ditemukan. Solusi versi Euclid hanya menyebutkan bahwa v2 adalah (bilangan) irrasional yang artinya bilangan tersebut tidak dapat dibuat nisbah (ratio), bukan karena bilangan tersebut “kurang waras.” Rasanya ketiga-belas buku dan “kandungan” lima postulat sulit dibantah. Ternyata ada ‘cacat’ pada postulat kelima.


Cacat pada postulat Euclid
Semua postulat membawa apa yang disebut dengan pembuktian diri (self-evidence). Postulat kelima dibuktikan oleh Euclid tanpa memberikan cara pembuktian. Upaya pertama untuk membuktikan postulat kesejajaran ini dilakukan oleh Girolamo Saccheri, pendeta Jesuit berkebangsaan Italia, yang mendukung Euclid dengan menerbitkan buku berjudul Euclides ab omni naevo vindicatus (“Euclid bebas dari semua kesalahan”) pada tahun 1733. Buku tersebut tidak dapat menuntaskan kesalahan Euclid. Matematikawan terkemuka Jerman, Gauss, pertama kali menemukan kesalahan postulat kelima tapi malu untuk mempublikasikannya sehingga kehormatan diberikan kepada dua matematikawan lain yang mengungkapkannya dengan cara penemuan Gauss. Janos Bolyai dari Hongaria dan Nicolai Lobachevsky secara terpisah mampu membuktikan cacat postulat kelima Euclid dengan cara berbeda pula.
Penemuan kesalahan ini membuat berkembangnya geometri model baru. Dirintis oleh Beltrami dari Italia, disusul Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis dan Felix Klein dari Jerman. Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuai kecil terhadap postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jerman sehingga muncul bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, ellips yang merupakan jawaban bahwa alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid (non-Euclidian).


Tiga problem matematika klasik
Para matematikawan sejak dahulu berkutat dengan tiga problem yang tidak dapat dipecahkan pada saat itu. Memang ketiga problem itu menjadi mudah setelah ada “campur-tangan” pada matematikawan modern yang terus menyempurnakan alat-alat matematika. Adapun ketiga problem ini adalah:


1. Persamaan pangkat 3

4x³ - 3x - a = 0

a adalah angka tertentu. Saat itu Yunani tidak mengenal pangkat tiga (kubik). Dengan penggaris dan kompas mereka hanya mampu menyelesaikan persamaan linier (pangkat 1) dan persamaan kuadrat (pangkat 2).


2. Menggandakan kuadrat

2x³ = y³ atau x³ = 2.

Problem yang tidak dapat dipecahkan terjadi karena sebuah legenda. Bangsa Athena, menurut cerita, konsultasi dengan Orakel (tempat dibangun kuil dan dewa bersabda) sebelum melakukan kampanye perang dan dijawab bahwa untuk mempertahankan kejayaan mereka harus menggandakan lebar altar pemujaan terhadap Apolo (Anak Zeus yang dipercayai oleh ayahnya untuk menyingkapkan keputusan-keputusan ayahhandanya untuk umat manusia), yang berbentuk kubus. Mereka segera membuat altar dengan dua kali panjang, dua kali lebar dan dua kali tinggi dibanding altar aslinya.
Percaya bahwa mereka sudah memenuhi keinginan Oracle, mereka dengan penuh percaya diri menuju perang – dan kalah. Ternyata, mereka membuat altar delapan kali besarnya, bukan 2 kali.

3. Menggambar lingkaran.
Karena tidak ada alat yang tersedia, pada saat itu, tidaklah dimungkinkan menggambar lingkaran bahkan dinyatakan dalam bentuk persamaan aljabar. Problem menyangkut menentukan besaran p (pi), nisbah antara lingkaran dan diameter. Kendala datang dari p yang merupakan bilangan irrasional sekaligus transendental (= bukan bilangan yang dapat diekspresikan dalam aljabar. Sulit ‘memahami alam tanpa kehadiran bilangan ini. Ada 2 bilangan transendental yang terkenal: p dan e).

Ketiga problem klasik ini akan selalu membayangi kiprah para matematikawan. Tidak terkecuali Euclid, tanpa pernah dapat menyelesaikan. Matematikawan berikutnya akan selalu menghadapi dan berupaya memecahkan problem tersebut. Penyelesaian suatu problem berarti nama baik sekaligus prestasi. Tidak jarang terjadi kecurangan, saling “curi” ide, penghianatan. Dan hal ini selalu terjadi di jaman dulu sampai jaman sekarang. Banyak contoh dapat dibaca pada riwayat-riwayat para matematikawan selanjutnya.


Euclid dan bilangan prima
Euclid, seperti matematikawan jaman sekarang, mempelajari bilangan prima, mencari untuk menentukan bilangan mana yang masuk kategori prima atau bukan. Euclid tidak pernah dapat menentukan bilangan prima, tetapi dia mampu memberikan jawaban tentang bilangan prima: bilangan prima itu tidak terhingga.
Anak SD sekarang sudah terbiasa dengan bilangan prima. Dari angka 2 sampai dengan 50 terdapat 15 bilangan prima (2, 3, 5, 7, 11, 13, `7, `9, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) ; dari 50 sampai dengan 100 hanya 10 bilangan prima.
Euclid membuat pernyataan: jika bilangan prima terbesar adalah n, maka pasti ada bilangan > n, di mana dapat dicari dengan menggunakan 1 x 2 x 3 dan seterusnya sampai n, kemudian ditambah 1 untuk mendapatkan hasilnya. Simbol matematika untuk mengekspresikan adalah n! + 1 (n faktorial ditambah 1).


Kondisi sekarang
Apabila dahulu Euclid dipuja, sekarang keadaan berbalik. Banyak pengikutnya mulai “menyerang” Euclid dengan menyebut dia terlalu arogan dan memaksakan suatu pembuktian yang dibuatnya selalu benar, misalnya: salah satu sisi segitiga tidak akan lebih panjang daripada jumlah kedua sisi lainnya. Matematikawan modern mengkritik Euclid dari sudut pandang lain, yaitu: Euclid tidak cermat dalam melakukan pembuktian. Terdapat beberapa kesalahan dan ide-ide yang tidak dapat dipertanggungjawabkan. Yang paling mencolok adalah postulat kelima yang juga lazim disebut dengan postulat kesejajaran.
Para matematikawan berikutnya tidak dapat menerima pernyataan-pernyataan (postulat) yang tidak dapat dibuktikan itu. Kemudian, muncul geometri non-Euclidian yang menggantikan postulat-postulat itu dengan pernyataan yang dapat diterima umum.


Masa tua Euclid
Pindah untuk mengajar di Alexandria yang lebih kosmopolitas, modern tidak membuat Euclid gembira dibandingkan tinggal di kota-kota di Yunani yang makin lama makin sepi. Di sini dia melihat aplikasi matematika. Pompa air, air terjun buatan bahkan motor yang digerakkan tenaga uap tidak memberi makna kehidupan bagi Euclid. Ia lebih suka matematika untuk dipelajari bukan untuk aplikasi. Euclid meninggal di Alexandria.


* Seorang astronomer yang menghitung gerakan bumi, bulan dan matahari. Perhitungan ini kelak akan disempurnakan oleh Newton.



Sumbangsih
Format yang dibuat Euclid membantu terjadi standarisasi matematika Yunani. Subyek-subyek yang dibahas oleh Euclid mencakup bentuk-bentuk, theorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen, geometri ruang, teori proporsi, bilangan prima, bilangan sempurna, integer positif, bilangan irrasional, gambar tri-matra (tiga dimensi). Euclid meninggalkan warisan yang berguna bagi pengembangan matematika.
Kompilasi hasil-hasil karya matematikawan sebelumnya lewat buku Elements, menunjukkan “benang merah” bahwa pengembangan matematika tidak lepas dari peran pemikir Yunani. Kritik terhadap Euclid justru memicu munculnya non-Euclidian yang melengkapi bahasan Euclid. Bentuk parabola, hiperbola dan elips mulai mendapatkan perhatian dari para matematikawan.
Read More..

Senin, 20 Juni 2011

Menaechmus (380 – 320 SM)

Riwayat
Disebutkan bahwa Menaechmus adalah murid Eudoxus yang lahir di Alopeconnesus, Asia kecil (sekarang Turki). Tempat kelahiran itu letaknya tidak jauh dari Cnidus, tempat Eudoxus bermukim dan berkarya. Ada yang menyimpulkan bahwa Menaechmus adalah pembimbing (tutor) dari Alexander Agung karena profesi sehari-harinya adalah sebagai kepala sekolah di Cnidus.
Menaechmus dikenal karena penemuannya tentang potongan-potongan kerucut dan dia pula yang pertama kali menunjukkan bahwa bentuk elips, parabola dan hiperbola diperoleh dengan memotong kerucut - sebagai sebuah ruang - tidak sejajar dengan dasar kerucut. Istilah parabola dan hiperbola tidak dikenal saat ini dan baru dinamai oleh Apollonius, meskipun ada bukti yang menyebutkan bahwa istilah parabola dan hiperbola usianya lebih tua dari Apollonius.


Potongan kerucut
Potongan-potongan kerucut penemuan Menaechmus ditemukan secara tidak sengaja ketika dia berusaha menyelesaikan problem dalam perbandingan (nisbah) antara dua garis lurus. Hasilnya adalah menyelesaikan problem duplikasi kubus dengan menggunakan potongan-potongan kerucut. Misal: diketahui garis lurus dengan ujung a dan b; kita ingin mencari perbandingan titik-titik x dan y yang terletak diantaranya:

a : x = x : y = y : b diperoleh a/x = y/b → xy = ab

Perhatikan nilai x dan y ditemukan dari titik-titik potong parabola: x² = ay dan hiperbola tegak lurus xy = ab. Di sini tidak tampak upaya Menaechmus menyelesaikan problem, namun di sini ditampilkan pula istilah modern tentang bagaimana parabola dan hiperbola mampu menjadi solusi bagi problem matematika.


Perhatikanlah:
a/x = x/y → x² = ay; dan x/y = y/b → y² = bx

Dapat diketahui nilai x dan y adalah titik-titik potong dua parabola x² = ay dan y² = bx.

Sumbangsih
Penemuan tidak sengaja potongan-potongan kerucut dari Menaechmus kelak mendasari [Blaise] Pascal untuk menjabarkan lebih lanjut dengan bentuk-bentuk elips, parabola dan hiperbola. Penjabaran dan pengambaran bentuk geometri lewat persamaan adalah suatu hal baru. Titik-titik potong pada parabola dan hiperbola kelak “disederhanakan” oleh Descartes. Read More..